黄金连分数（斐波那契数列、大数运算）正确解法

标题: 黄金连分数
黄金分割数0.61803... 是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。

对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一个庞然大物，其实只是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”!!
言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。

比较简单的一种是用连分数：

1
黄金数 = ---------------------
1
1 + -----------------
1
1 + -------------
1
1 + ---------
1 + ...

这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。

请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后100位。

小数点后3位的值为：0.618
小数点后4位的值为：0.6180
小数点后5位的值为：0.61803
小数点后7位的值为：0.6180340
（注意尾部的0，不能忽略）

你的任务是：写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值。

注意：尾数的四舍五入！尾数是0也要保留！

显然答案是一个小数，其小数点后有100位数字，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。

解题思路：

此题在网上看过若干解法，大同小异，但基本都是错误的。

下面是一种正确解法。

首先，题目所说的黄金连分数实际上就是求解某一项斐波那契数列n/n+1项的比值，要精确到小数点100位。

此题网上解法错误在于大多使用了较小项的斐波那契数，一般在40到70项，实际上，100位精确小数是要做到无误差的，因此必须不断加大斐波那契的项数不断测试，下面我给出一个图，大家就明白了。

实际上这个比值在102项/101项斐波那契数的时候才开始不再变化，即为我们要求的结果。

因此难度在于100多项斐波那契数的时候，我们的整型是无法计算如此大的数据。因此需要通过大数加法以及大数除法实现计算。

下面给出代码:

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
//思路：由黄金连分数可转化为求解斐波那契数，运用大数运算求解小数点后一百位//n表示斐波那契数列第一百项
int n = 100;
int cmp(string a, string b)
{if (a == b) return 0;else if (a.length() < b.length()) return -1;else if (a.length() > b.length()) return 1;else{if (a > b) return 1;if (a < b) return -1;return -1;}
}//大数相加，较大斐波那契数无法算出，只能通过大数计算
string add(string a, string b)
{//去掉开头的0,substr(a,n) 返回第a位开始长度为n的字符串//find_first_not_of（"abc"）返回最先匹配到abc任意一个字符的最后位置a = a.substr(a.find_first_not_of('0'));b = b.substr(a.find_first_not_of('0'));long long lenA = a.length();long long lenB = b.length();long long len = max(lenA, lenB) + 10;//反转， 便于从最低位逐位求和reverse(a.begin(), a.end());reverse(b.begin(), b.end());string ans(len, '0');for (int i = 0; i < lenA; i++){ans[i] = a[i];}//通过模拟手工计算来进行大数相加，temp用来存储上下两位相加的结果int temp = 0;for (int i = 0; i < len; i++){if (i < lenB){temp += ((ans[i] - '0') + (b[i] - '0'));ans[i] = temp % 10 + '0';temp /= 10;}else{temp += (ans[i] - '0');ans[i] = temp % 10 + '0';temp /= 10;}}//ans存储的结果最后要反转回来去掉开头的0reverse(ans.begin(), ans.end());return ans.substr(ans.find_first_not_of('0'));
}//大数相减
string substract(string a, string b)
{//a必须大于b,实际上在divide（）中，a已经>=b了reverse(a.begin(), a.end());reverse(b.begin(), b.end());//将a复制给ansstring ans = a;//依旧是模拟手工减法计算for (int i = 0; i < b.length(); i++){if (ans[i] >= b[i]){ans[i] = ans[i] - b[i] + '0';}//注意：在被减数不够减的情况下，需要向前借位，//可能被借位为0也不够借，继续往前寻找不为0的位，通过一个while循环实现else{int k = 1;while (ans[i + k] == '0'){//0被借位变为9ans[i + k] = '9';k++;}//最终i+k位不为0可以被借-1，i位+10ans[i + k] = ans[i + k] - 1;ans[i] = ans[i] + 10 - b[i] + '0';}}reverse(ans.begin(), ans.end());return ans.substr(ans.find_first_not_of('0'));
}//大数相除
string divide(string a, string b)
{//前提 a < b 实际题目已满足//大数除法实际上是模拟除法运算结合大数减法string ans = "0.";for (int i = 0; i < 101; i++) //保留101项，保证四舍五入{// (a*10)/b = t 不过其中除法用减法substract代替a.append(1,'0');int t = 0;while (cmp(a, b) >= 0){a = substract(a, b);t++;}ans.append(1,t + '0');}return ans;
}
int main()
{//斐波那契数列前两项string a = "1";string b = "1";for (int k = 0; k < 40; k++){//求解斐波那契数列100-140各项与前一项的比值（所谓黄金连分数）for (int i = 3; i < n+k; i++){string temp = b;b = add(a, b);a = temp;}string ans = divide(a, b);cout << 100+k  << "项  " <<ans << endl;}return 0;
}

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