更新时间：2019.10.27

增加补充项中的内容

1. 序言

之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊

。如果想要输入复杂的数学公式，光知道公式输入的方式是远远不够的，我们还需要了解公式中常用的组成部分。

2. 上下标

数学公式中的字母经常是带上标(幂/转置/导数等)和下标(矩阵元素位置/参数个数等)的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用^表示上标，使用_表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个(2个及以上)字符时，要用{}括起来。

$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$

$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$

显示效果：

\[Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2

\]

\[a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0

\]

tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如\(\bar X\)。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。

tip2：在这里列举一些常用的用法：

\(\bar X\)(X拔)的表示方法是：$\bar X$，这个通常是用来表示变量的均值

\(\hat Y\)(Y帽)的表示方法是：$\hat Y$，这个通常是用来表示变量的预测值

\(\underline X\)的表示方式是：$\underline X$，可以用来表示下限

还有其他像\(\widetilde X\)的表示方式是：$\widetilde X$

tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看常用的希腊字母

3. 分式

直接使用\frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母

$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$

显示效果：

\[f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}

\]

4. 根式

直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式

$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$

显示效果：

\[f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}

\]

5. 求和和连乘

对于连加的情况，我们通常使用\(\sum\)来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像$\sum_{}^{}$形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多(连乘都能通过对数写成连加)，它只要以$\prod_{}^{}$的形式表示。

$$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$

$$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$

显示效果：

\[\sum_{i = 1}^{n}x_i

\]

\[\prod_{i = 1}^{n}x_i

\]

tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像\(\sum_{i=1}^na_{ij}\)的效果，如果想要这样的效果\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\)，就需要在前面加上\displaystyle，来重新看一下下面的例子：

$\sum_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$

$\prod_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$

显示效果：

\(\sum_{i = 1}^{n}x_i\)

\(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i\)

\(\prod_{i = 1}^{n}x_i\)

\(\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i\)

6. 极限

还记得高数里极限的符号吗

。在latex中的极限表示，也直接使用\lim这个我们时常看到的符号。当然极限通常都是带下标的，所以更多的是使用lim_{}的形式。

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$

显示效果：

\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1

\]

\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e

\]

tip1：右箭头\(\rightarrow\)的表示方式为$\rightarrow$，左箭头\(\leftarrow\)的表示方式是$\leftarrow$

tip2：正无穷\(+ \infty\)的表示方式为$+ \infty$，负无穷\(- \infty\)的表示方式是$- \infty$

7. 积分

如果想要输入积分，则需要使用\int_{}^{}来表示

$$\int_0^1 x^2 dx$$

$$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$

显示效果：

\[\int_0^1 x^2 dx

\]

\[F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx

\]

8. 常用的希腊字母

有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：

希腊字母

对应的代码

希腊字母

对应的代码

\(\alpha\)

$\alpha$

\(\mu\)

$\mu$

\(\beta\)

$\beta$

\(\sigma\)

$\sigma$

\(\gamma\)

$\gamma$

\(\varepsilon\)

$\varepsilon$

\(\theta\)

$theta$

\(\chi\)

$\chi$

\(\zeta\)

$\zeta$

\(\tau\)

$\tau$

\(\eta\)

$\eta$

\(\rho\)

$\rho$

\(\xi\)

$\xi$

\(\psi\)

$\psi$

\(\pi\)

$\pi$

\(\phi\)

$\phi$

9. 补充项

9.1 波浪线的表示

可以使用$\sim$来表示波浪线

$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$

显示效果：

\(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)\)

9.2 求导

使用$\mathrm{d}$来表示求导符号，$\partial$来表示求偏导

$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$

$\frac {dL(\beta)}{\beta}$

$\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$

显示效果：

\(\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}\)

\(\frac {dL(\beta)}{\beta}\)

\(\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}\)

9.3 垂直和平行符号

垂直：使用\$perp$，效果为\(\perp\)

平行：可以直接用//或$//$，也可以使用$\parallel$，不过这个是显示竖直的形式||

$//$

$\parallel$

显示效果：

\(//\)

\(\parallel\)

9.4 把符号放在正下方

有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用$\underset$，有时也可以使用$\limits$

$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$

$$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$

显示效果：

\[\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)

\]

\[\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)

\]

9.5 集合

$$\subset$$

$$\subseteq$$

$$\in$$

$$\notin$$

$$\cap$$

$$\cup$$

$$\mid$$

$$\supset$$

显示效果：

\[\subset

\]

\[\subseteq

\]

\[\in

\]

\[\notin

\]

\[\cap

\]

\[\cup

\]

\[\mid

\]

\[\supset

\]

9.6 成正比

使用$\propto$来表示

$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$

显示效果：

\(f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)\)

9.7 梯度

使用$nabla$来表示

$\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T$

显示效果：

\(\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T\)