一、二叉树相关理论

1.1定义

二叉树是指树中节点的度不超过二的有序树。一棵空树或者一个节点的树也可以称为二叉树，二叉树其左右子树也各种一棵二叉树。

1.2基本分类

有满二叉树和完全二叉树之分。

1.2.1满二叉树

是所有非叶子节点都有且仅存在左右子树的二叉树。

1.2.2完全二叉树

是除最后一层非叶子节点外都有且仅存在左右子树，且最后一层叶子节点从左到右紧密排列，右边连续缺少若干个节点的二叉树

1.3性质

性质1：二叉树第i层至多有 $2^{i-1}$ (i>0)个节点

性质2：最大深度为h的二叉树至多有 $2^{h}-1$ 个节点

性质3：若任意一棵二叉树有n0个叶子节点，n1个度为2的节点，则必有n0 == n1 + 1

性质4：具有n个节点的完全二叉树最大深度为 $\log_{2}n+1$

性质5：对n个节点完全二叉树从上到下、左到右从1-i开始编号，假设根节点为1，父节点parent，左节点left ，右子节点right，则具有如下公式：

$parent == left / 2$

（1）父节点满足： $parent == right / 2$

（2）子节点满足： $left == parent * 2$ $right == parent * 2 +1$

1.4二叉树遍历

二叉树在逻辑上虽然是非线性结构，但是在存储时可以用连续数组存储，也可以采用链表，本文讲解主要采用数组结构存储。当遍历二叉树时有四种方式，分别为前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

其中遍历的划分主要是根据父节点的访问顺序进行划分，下面是每种遍历方式示意图。

1.4.1前序遍历

如图三所示，是一个6个节点的完全二叉树，序号1-6节点对应的不重复关键字分别为ABCDEF，则先遍历的顺序为：先遍历父节点parent，然后遍历左子节点left，再遍历右子节点right，即遍历顺序：

parent ——> left ——> right

图三先序遍历输出结果为：A B D E C F

具体应用可以参考博主这篇博文：https://blog.csdn.net/naibozhuan3744/article/details/121708034

1.4.2中序遍历

中序遍历是先遍历左子节点left，在遍历父节点parent，最后遍历右子节点right，即遍历顺序：

left ——> parent ——> right

图三先序遍历输出结果为：D B E A F C

中序遍历一般应用在二叉搜索数上，二叉搜索树顺序输出是有序数组。

1.4.3后序遍历

后序遍历是先遍历左子节点left，在遍历右子节点right，最后遍历父节点parent，即遍历顺序：

left ——> right ——> parent

图三先序遍历输出结果为：D E B F C A

后序遍历一般用在运算符树，即非叶子节点为符号位，叶子结点是数字位，如图四所示：

通过对图四进行中序遍历可以还原表达式，进行后序遍历可以计算表达式。

1.4.4层次遍历

层次遍历顺序为从左到右、从上到下依次访问每个节点，可以采用队列方式进行遍历，顺序如下：

parent ——> left ——> right

图三先序遍历输出结果为：A B C D E F

层次遍历可以看成是顺序遍历整个存储二叉树的数组。

1.5二叉树的查找

二叉树查找元素有深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，深度优先搜索一般用递归方式；而广度优先搜索一般采用队列方式。

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