1.图解线性相关与线性无关

本篇以三阶矩阵为例：

关键：第三个列向量是否在前两个列向量构成的平面内

1.1 列向量线性无关（Independence）

原基向量
I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] i = [ 1 0 0 ] j = [ 0 1 0 ] k = [ 0 0 1 ] I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{k}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} I=⎣⎡100010001⎦⎤ i=⎣⎡100⎦⎤j=⎣⎡010⎦⎤k=⎣⎡001⎦⎤
新基向量
A = [ 1 0 0 − 1 1 0 0 − 1 1 ] u = [ 1 − 1 0 ] v = [ 0 1 − 1 ] w = [ 0 1 − 1 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 &1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \quad \boldsymbol{u}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{w}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix} A=⎣⎡1−1001−1001⎦⎤ u=⎣⎡1−10⎦⎤v=⎣⎡01−1⎦⎤w=⎣⎡01−1⎦⎤

向量 w \boldsymbol{w} w 无法由向量 u \boldsymbol{u} u 和向量 v \boldsymbol{v} v 线性组合得到，说明三个列向量线性无关：向量 w \boldsymbol{w} w 不在向量 u \boldsymbol{u} u 和向量 v \boldsymbol{v} v 构成的平面内

向量 x \boldsymbol{x} x 经过线性变换 A A A 得到向量 b \boldsymbol{b} b

A x = b A = [ u v w ] A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\\ A=[\boldsymbol{u}\quad \boldsymbol{v}\quad\boldsymbol{w}] Ax=bA=[uvw]

如果我们要得到零向量 b \boldsymbol{b} b
因为 u \boldsymbol{u} u， v \boldsymbol{v} v， w \boldsymbol{w} w 是线性无关的（三个列向量不共面），除了 0 u \boldsymbol{u} u+0 v \boldsymbol{v} v+0 w \boldsymbol{w} w= 0 \boldsymbol{0} 0 可以得到 b \boldsymbol{b} b = 0 \boldsymbol{0} 0 ，也就是向量 x = [ 0 , 0 , 0 ] T x=[0,0,0]^T x=[0,0,0]T 经过线性变换 A A A 得到零向量，其他向量 x x x 无法由线性变换 A A A 得到零向量 b \boldsymbol{b} b

非线性列： A x = 0 A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Ax=0 只有一个解， A A A 是可逆矩阵

1.2 列向量线性相关（Dependence）

原基向量
I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] i = [ 1 0 0 ] j = [ 0 1 0 ] k = [ 0 0 1 ] I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{k}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} I=⎣⎡100010001⎦⎤ i=⎣⎡100⎦⎤j=⎣⎡010⎦⎤k=⎣⎡001⎦⎤
新基向量
C = [ 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ] u = [ 1 − 1 0 ] v = [ 0 1 − 1 ] w ∗ = [ − 1 0 1 ] C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 &1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \quad \boldsymbol{u}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix}\quad \boldsymbol{w^*}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ C=⎣⎡1−1001−1−101⎦⎤ u=⎣⎡1−10⎦⎤v=⎣⎡01−1⎦⎤w∗=⎣⎡−101⎦⎤
线性有关：向量 w ∗ \boldsymbol{w^*} w∗ 在向量 u \boldsymbol{u} u 和向量 v \boldsymbol{v} v 构成的平面内

即向量 w ∗ \boldsymbol{w^*} w∗ 可以由向量 u \boldsymbol{u} u 和向量 v \boldsymbol{v} v 线性组合得到，这里为 w ∗ = − u − v \boldsymbol{w^*}=-\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} w∗=−u−v

向量 x \boldsymbol{x} x 经过线性变换 C C C 得到向量 b \boldsymbol{b} b

C x = b C = [ u v w ∗ ] u + v + w ∗ = 0 C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\\ ~\\ C=[\boldsymbol{u}\quad \boldsymbol{v}\quad\boldsymbol{w^*}]\\ ~\\ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w^*}=\boldsymbol{0} Cx=b C=[uvw∗] u+v+w∗=0

如果我们要得到零向量 b \boldsymbol{b} b
因为 u \boldsymbol{u} u， v \boldsymbol{v} v， w \boldsymbol{w} w 是线性相关的（三个列向量共面，且加和为零向量）
线性组合 u + v + w ∗ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w^*} u+v+w∗ 可以得到零向量 b \boldsymbol{b} b = 0 \boldsymbol{0} 0，也就是向量 x = [ 0 , 0 , 0 ] T x=[0,0,0]^T x=[0,0,0]T经过线性变换 C C C得到零向量 b b b
但其他线性组合比如： 2 u + 2 v + 2 w ∗ 2\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v}+2\boldsymbol{w^*} 2u+2v+2w∗ 也可以得到零向量 b \boldsymbol{b} b = 0 \boldsymbol{0} 0，也就是向量 x = [ 2 , 2 , 2 ] T x=[2,2,2]^T x=[2,2,2]T经过线性变换 C C C得到零向量 b b b

线性列： C x = 0 C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Cx=0 有无数个解， C C C 是奇异矩阵
C x = 0 C x = [ 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] = 0 { x 1 + 0 x 2 − x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 0 x 3 = 0 0 x 1 − x 2 + x 3 = 0 x 1 = x 2 = x 3 x 1 [ 1 − 1 0 ] + x 2 [ 0 1 − 1 ] + x 3 [ − 1 0 1 ] = [ 0 0 0 ] C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\ ~\\ C\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}= \boldsymbol{0}\\ ~\\ \begin{cases} x_1+0x_2-x_3 &=0\\ -x_1+x_2+0x_3&=0\\ 0x_1-x_2+x_3&=0 \end{cases}\\ ~\\ x_1=x_2=x_3\\ ~\\ x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\\ Cx=0 Cx=⎣⎡1−1001−1−101⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡000⎦⎤=0 ⎩⎪⎨⎪⎧x1+0x2−x3−x1+x2+0x30x1−x2+x3=0=0=0 x1=x2=x3 x1⎣⎡1−10⎦⎤+x2⎣⎡01−1⎦⎤+x3⎣⎡−101⎦⎤=⎣⎡000⎦⎤
向量 x x x 经过线性变换 C C C 得到零向量 b b b，其中向量 x = [ 0 , 0 , 0 ] T 、 x = [ 1 , 1 , 1 ] T 、 x = [ 2 , 2 , 2 ] T … … x=[0,0,0]^T、x=[1,1,1]^T、x=[2,2,2]^T…… x=[0,0,0]T、x=[1,1,1]T、x=[2,2,2]T……，故 C x = 0 C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Cx=0 有无数个解

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1.图解线性相关与线性无关

1.1 列向量线性无关（Independence）

1.2 列向量线性相关（Dependence）

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