【清华集训 2014】玛里苟斯（组合计数 + 线性基）

题目链接：【清华集训 2014】玛里苟斯
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首先想到将kkk分类讨论。

k=1" role="presentation" style="position: relative;">k=1k=1k=1时，我们考虑每一位的贡献。若有至少一个数第iii位为1" role="presentation" style="position: relative;">111，则对答案的贡献为valuei2valuei2\frac{value_i}{2}。

k=2k=2k=2时，发现每个异或和的平方为∑i∑j2i+jbitibitj∑i∑j2i+jbitibitj\sum_{i}\sum_{j}{2^{i+j}bit_ibit_j}。那么考虑第iii位和第j" role="presentation" style="position: relative;">jjj位的积的期望值。如果所有的数中，第iii位和第j" role="presentation" style="position: relative;">jjj位均相等且非全零，那么参考k=1k=1k=1的情况，期望为1212\frac{1}{2}；否则，第iii位为1" role="presentation" style="position: relative;">111的概率为1212\frac{1}{2}，第jjj位为1" role="presentation" style="position: relative;">111的概率为1212\frac{1}{2}，i×ji×ji\times j为111的概率为14" role="presentation" style="position: relative;">1414\frac{1}{4}。

k≥3k≥3k\ge 3时，由于答案不超过2632632^{63}，所以每个数不超过2212212^{21}，所以线性基个数不超过212121，则可以暴力枚举异或和来计算答案了。注意精度问题。

我怀疑我学了假的线性基模版···

#include <cstdio>
#include <iostream>
const int maxn = 100005;
typedef unsigned long long ull;
int n, m, k;
ull a[maxn], base[maxn], b[maxn];
void solve1() {ull ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {ans |= a[i];}printf("%llu", ans >> 1);if (ans & 1) {printf(".5");}putchar('\n');
}
void solve2() {ull ans = 0, res = 0;for (int i = 32; i >= 0; i--) {for (int j = 32; j >= 0; j--) {bool flag0 = 0, flag1 = 0, flag = 0;for (int k = 1; k <= n; k++) {flag0 |= a[k] >> i & 1;flag1 |= a[k] >> j & 1;flag |= (a[k] >> i & 1) != (a[k] >> j & 1);}if (!flag0 || !flag1) {continue;}if (i + j - flag - 1 < 0) {res++;} else {ans += 1ull << (i + j - flag - 1);}}}ans += res >> 1;printf("%llu", ans);if (res & 1) {printf(".5");}putchar('\n');
}
void solve3() {ull ans = 0, res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 22; j >= 0; j--) {if (a[i] >> j & 1) {if (base[j]) {a[i] ^= base[j];} else {base[j] = a[i];b[++m] = a[i];break;}}}}for (int i = 0; i < 1 << m; i++) {ull val = 0;for (int j = 1; j <= m; j++) {if (i >> (m - j) & 1) {val ^= b[j];}}ull a = 0, b = 1;for (int j = 1; j <= k; j++) {a *= val, b *= val;a += b >> m, b &= (1 << m) - 1;}ans += a, res += b;ans += res >> m, res &= (1 << m) - 1;}printf("%llu", ans);if (res) {printf(".5");}putchar('\n');
}
int main() {scanf("%d %d", &n, &k);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%llu", a + i);}if (k == 1) {solve1();} else if (k == 2) {solve2();} else {solve3();}return 0;
}

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