Leetcode 300-最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

题解

解法一：动态规划

解题思路：

状态定义： dp[i] 的值代表 nums 以 nums[i] 结尾的最长子序列长度。
转移方程： 设 j∈[0,i)，考虑每轮计算新 dp[i] 时，遍历 [0,i) 列表区间，做以下判断：
1.当 nums[i]>nums[j] 时： nums[i] 可以接在 nums[j] 之后（此题要求严格递增），此情况下最长上升子序列长度为 dp[j]+1 ；
2.当 nums[i]<=nums[j] 时： nums[i] 无法接在 nums[j] 之后，此情况上升子序列不成立，跳过。

上述所有 1. 情况 下计算出的 dp[j]+1 的最大值，为直到 i 的最长上升子序列长度（即 dp[i] ）。实现方式为遍历 j 时，每轮执行 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。
转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。

初始状态： dp[i] 所有元素置 1，含义是每个元素都至少可以单独成为子序列，此时长度都为 1。
返回值： dp 列表最大值，即可得到全局最长上升子序列长度。

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {//dp[i]代表以nums[i]结尾的LIS的长度int[] dp = new int[nums.length];//dp[i]最小值为1，因为以nums[i]结尾的LIS至少包含其自身Arrays.fill(dp,1);int res=0;//获得dp[i]数组for(int i=0;i<dp.length;i++){for(int j=i;j<dp.length;j++){//如果nums[j]>nums[i]，代表nums[j]可以接在以nums[i]结尾的LIS后if(nums[j]>nums[i]){//找到nums[j]结尾的最长的递增子序列dp[j]=Math.max(dp[j],dp[i]+1);}}res=Math.max(res,dp[i]);}return res;}
}

解法二：动态规划 + 二分查找

解题思路：
降低复杂度切入点： 解法一中，遍历计算 dp 列表需 O(N)，计算每个 dp[k] 需 O(N)。
1.动态规划中，通过线性遍历来计算 dp 的复杂度无法降低；
2.每轮计算中，需要通过线性遍历 [0,k) 区间元素来得到 dp[k] 。我们考虑：是否可以通过重新设计状态定义，使整个 dp 为一个排序列表；这样在计算每个 dp[k] 时，就可以通过二分法遍历 [0,k) 区间元素，将此部分复杂度由 O(N) 降至 O(logN)。

设计思路：
新的状态定义：
我们考虑维护一个列表 tails，其中每个元素 tails[k] 的值代表长度为 k+1 的子序列尾部元素的值。
如 [1,4,6] 序列，长度为 1,2,3 的子序列尾部元素值分别为 tails=[1,4,6]。

状态转移设计：

设常量数字 N，和随机数字 x，我们可以容易推出：当 N 越小时，N<x 的几率越大。例如： N=0 肯定比 N=1000 更可能满足 N<x。
在遍历计算每个 tails[k]，不断更新长度为 [1,k] 的子序列尾部元素值，始终保持每个尾部元素值最小（例如 [1,5,3]]，遍历到元素 5 时，长度为 2 的子序列尾部元素值为 5；当遍历到元素 3 时，尾部元素值应更新至 3，因为 3 遇到比它大的数字的几率更大）。

tails 列表一定是严格递增的：即当尽可能使每个子序列尾部元素值最小的前提下，子序列越长，其序列尾部元素值一定更大。

算法流程：

状态定义： tails[k] 的值代表长度为 k+1 子序列的尾部元素值。
转移方程： 设 res 为 tails 当前长度，代表直到当前的最长上升子序列长度。设 j∈[0,res)，考虑每轮遍历 nums[k] 时，通过二分法遍历 [0,res) 列表区间，找出
nums[k] 的大小分界点，会出现两种情况：

区间中存在 tails[i]>nums[k] ：将第一个满足 tails[i]>nums[k] 执行 tails[i]=nums[k] ；因为更小的 nums[k] 后更可能接一个比它大的数字（前面分析过）。
区间中不存在 tails[i]>nums[k] ：意味着 nums[k] 可以接在前面所有长度的子序列之后，因此肯定是接到最长的后面（长度为 res ），新子序列长度为 res+1。

初始状态：
令 tails 列表所有值 =0。
返回值：
返回 res ，即最长上升子子序列长度。

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] tails = new int[nums.length];//设 res 为 tails 当前长度，代表直到当前的最长上升子序列长度int res = 0;for(int num : nums){//i:指向tails的指针   j:初始指向res位置int i=0,j=res;while(i<j){//用于二分查找int m = (i+j)/2;//找到第一个num可以插入的位置if(tails[m]<num) i=m+1;else j=m;}//找到num可以插入的位置，插入tails[i]=num;//表明此时num直接插入了数组最后，右边界+1if(res == j) res++;}return res;}
}