主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

文章目录

1. 总体主成分分析
2. 样本主成分分析
3. 主成分分析方法
- 3.1 相关矩阵的特征值分解算法
- 3.2 矩阵奇异值分解算法
4. sklearn.decomposition.PCA

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的无监督学习方法
利用正交变换把由线性相关变量表示的观测数据 转换为 少数几个由线性无关变量表示的数据，线性无关的变量 称为 主成分
主成分的个数通常小于原始变量的个数，所以PCA属于降维方法
主要用于发现数据中的基本结构，即数据中变量之间的关系，是数据分析的有力工具，也用于其他机器学习方法的前处理
PCA属于多元统计分析的经典方法

1. 总体主成分分析

第一轴选取方差最大的轴 y1

主成分分析的主要目的是降维，所以一般选择 k（ k ≪ m k\ll m k≪m）个主成分（线性无关变量）来代替m个原有变量（线性相关变量），使问题得以简化，并能保留原有变量的大部分信息（原有变量的方差）。

在实际问题中，不同变量可能有不同的量纲，直接求主成分有时会产生不合理的结果。
为了消除这个影响，常常对各个随机变量实施规范化，使其均值为0，方差为1。

主成分分析的结果可以用于其他机器学习方法的输入。

将样本点投影到以主成分为坐标轴的空间中，然后应用聚类算法，就可以对样本点进行聚类

定义：

假设 x \pmb x xxx 为 m m m 维随机变量，均值为 μ \mu μ，协方差矩阵为 Σ \Sigma Σ
随机变量 x \pmb x xxx 到 m m m 维随机变量 y \pmb y yyy 的线性变换
y i = α i T x = ∑ k = 1 m α k i x k , i = 1 , 2 , . . . , m y_i = \alpha_i^T \pmb x = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_{ki}x_k, \quad i=1,2,...,m yi=αiTxxx=k=1∑mαkixk,i=1,2,...,m
其中 α i T = ( α 1 i , α 2 i , . . . , α m i ) \alpha_i^T = (\alpha_{1i},\alpha_{2i},...,\alpha_{mi}) αiT=(α1i,α2i,...,αmi)
如果该线性变换满足以下条件，称之为总体主成分：

α i T α i = 1 , i = 1 , 2 , . . . , m \alpha_i^T\alpha_i = 1, i = 1, 2,...,m αiTαi=1,i=1,2,...,m
c o v ( y i , y j ) = 0 ( i ≠ j ) cov (y_i,y_j) = 0(i \neq j) cov(yi,yj)=0(i=j)
y 1 y_1 y1 是 x \pmb x xxx 的所有线性变换中方差最大的， y 2 y_2 y2 是与 y 1 y_1 y1 不相关的 x \pmb x xxx 的所有线性变换中方差最大的，以此类推， y 1 , y 2 , . . . , y m y_1,y_2,...,y_m y1,y2,...,ym 称为第一主成分…第 m m m 主成分

假设 x \pmb x xxx 是 m m m 维随机变量，其协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 的特征值分别是 λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ m ≥ 0 \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge ... \ge \lambda_m \ge 0 λ1≥λ2≥...≥λm≥0，特征值对应的单位特征向量分别是 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm，则 x \pmb x xxx 的第 i i i 主成分可写作：
y i = α i T x = ∑ k = 1 m α k i x k , i = 1 , 2 , . . . , m y_i = \alpha_i^T \pmb x = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_{ki}x_k, \quad i=1,2,...,m yi=αiTxxx=k=1∑mαkixk,i=1,2,...,m
并且， x \pmb x xxx 的第 i i i 主成分的方差是协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 的第 i i i 个特征值，即：
v a r ( y i ) = α i T Σ α i = λ i var (y_i) = \alpha_i^T\Sigma\alpha_i = \lambda_i var(yi)=αiTΣαi=λi

主成分性质：

主成分 y \pmb y yyy 的协方差矩阵是对角矩阵 c o v ( y ) = Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ) cov(\pmb y) = \Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m) cov(yyy)=Λ=diag(λ1,λ2,...,λm)
主成分 y \pmb y yyy 的方差之和等于随机变量 x \pmb x xxx 的方差之和
∑ i = 1 m λ i = ∑ i = 1 m σ i i \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i = \sum\limits_{i=1}^m \sigma_{ii} i=1∑mλi=i=1∑mσii
其中 σ i i \sigma_{ii} σii 是 x i x_i xi 的方差，即协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 的对角线元素
主成分 y k y_k yk 与变量 x i x_i xi 的相关系数 ρ ( y k , x i ) \rho(y_k,x_i) ρ(yk,xi) 称为因子负荷量（factor loading），它表示第 k k k 个主成分 y k y_k yk 与变量 x i x_i xi 的相关关系，即 y k y_k yk 对 x i x_i xi 的贡献程度
ρ ( y k , x i ) = λ k α i k σ i i , k , i = 1 , 2 , . . . , m \rho(y_k, x_i) = \frac{\sqrt{\lambda_k}\alpha_{ik}}{\sqrt{\sigma_{ii}}},k,i=1,2,...,m ρ(yk,xi)=σii λk αik,k,i=1,2,...,m

2. 样本主成分分析

是基于样本协方差矩阵的主成分分析
给定样本矩阵 X X X

X X X 的样本协方差矩阵
S = [ s i j ] m × n , s i j = 1 n − 1 ∑ k = 1 m ( x i k − x ˉ i ) ( x j k − x ˉ j ) i = 1 , 2 , . . . , m , j = 1 , 2 , . . . , m , 其中 x ˉ i = 1 n ∑ k = 1 n x i k S = [s_{ij}]_{m \times n}, \quad s_{ij} = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^m(x_{ik}-\bar x_i)(x_{jk}-\bar x_j)\\ i = 1,2,...,m,\quad j = 1,2,...,m, 其中 \bar x_i = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_{ik} S=[sij]m×n,sij=n−11k=1∑m(xik−xˉi)(xjk−xˉj)i=1,2,...,m,j=1,2,...,m,其中xˉi=n1k=1∑nxik

给定样本 X X X，考虑 x \pmb x xxx 到 y \pmb y yyy 的线性变换 y = A T x \pmb y = A^T \pmb x yyy=ATxxx

如果满足以下条件，称之为样本主成分：

样本第一主成分 y 1 = α 1 T x y_1 = \alpha_1^T \pmb x y1=α1Txxx 是在 α 1 T α 1 = 1 \alpha_1^T\alpha_1 = 1 α1Tα1=1 条件下，使得 α 1 T x j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) \alpha_1^T \pmb x_j (j=1,2,...,n) α1Txxxj(j=1,2,...,n) 的样本方差 α 1 T S α 1 \alpha_1^TS\alpha_1 α1TSα1 最大的 x \pmb x xxx 的线性变换，以此类推。
样本第 i i i 主成分 y i = α i T x y_i = \alpha_i^T \pmb x yi=αiTxxx 是在 α i T α i = 1 \alpha_i^T\alpha_i = 1 αiTαi=1 和 α i T x j \alpha_i^T\pmb x_j αiTxxxj 与 α k T x j ( k < i , j = 1 , 2 , . . . , n ) \alpha_k^T \pmb x_j \quad(k < i,j = 1,2,...,n) αkTxxxj(k<i,j=1,2,...,n)的样本协方差 α k T S α i = 0 \alpha_k^TS\alpha_i=0 αkTSαi=0 条件下，使得 α i T x j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) \alpha_i^T \pmb x_j (j=1,2,...,n) αiTxxxj(j=1,2,...,n) 的样本方差 α i T S α i \alpha_i^TS\alpha_i αiTSαi 最大的 x \pmb x xxx 的线性变换

3. 主成分分析方法

3.1 相关矩阵的特征值分解算法

针对 m × n m \times n m×n 样本矩阵 X X X ，求样本相关矩阵 R = 1 n − 1 X X T R = \frac{1}{n-1}XX^T R=n−11XXT
再求样本相关矩阵的 k k k 个特征值和对应单位特征向量，构造正交矩阵
V = ( v 1 , v 2 , . . . , v k ) V = (v_1,v_2,...,v_k) V=(v1,v2,...,vk)
V V V 的每一列对应一个主成分，得到 k × n k \times n k×n 样本主成分矩阵 Y = V T X Y=V^TX Y=VTX

3.2 矩阵奇异值分解算法

针对 m × n m \times n m×n 样本矩阵 X X X ， X ′ = 1 n − 1 X T X' = \frac{1}{\sqrt{n-1}}X^T X′=n−1 1XT
对矩阵 X X X 进行截断奇异值分解，保留 k k k 个奇异值、奇异向量
得到 X ′ = U S V T X' = USV^T X′=USVT
V V V 的每一列对应一个主成分，得到 k × n k \times n k×n 样本主成分矩阵 Y = V T X Y=V^TX Y=VTX

4. sklearn.decomposition.PCA

sklearn.decomposition.PCA 官网介绍

class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, copy=True,
whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0,
iterated_power='auto', random_state=None)

参数：
n_components：保留主成分个数，没有赋值，特征个数不变

属性：
components_：主成分
explained_variance_：各特征方差
explained_variance_ratio_：各特征方差百分比
singular_values_：主成分的奇异值
n_components_：保留特征个数

方法：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as pltX = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.show()
for n in range(1, 3):print("PCA n_components = {}".format(n))pca = PCA(n_components=n)pca.fit(X)print("特征方差")print(pca.explained_variance_)print("特征方差占比")print(pca.explained_variance_ratio_)print("主成分奇异值")print(pca.singular_values_)print("主成分")print(pca.components_)print("主成分个数")print(pca.n_components_)

PCA n_components = 1
特征方差
[7.93954312]
特征方差占比
[0.99244289]
主成分奇异值
[6.30061232]
主成分
[[-0.83849224 -0.54491354]]
主成分个数
1
PCA n_components = 2
特征方差
[7.93954312 0.06045688]
特征方差占比
[0.99244289 0.00755711]
主成分奇异值
[6.30061232 0.54980396]
主成分
[[-0.83849224 -0.54491354][ 0.54491354 -0.83849224]]
主成分个数
2