施密特正交化（Schmidt）

n维向量空间 R n R^n Rn中得出的一组线性无关的向量 a 1 , a 2 , . . . . . a n a_1,a_2,.....a_n a1,a2,.....an
怎么确定一组两两正交的向量？使每一个在原坐标系中向量在新的正交基下确定的
坐标系中重新确定坐标？

施密特正交化用于对向量空间中的一组线性无关的向量 a 1 , a 2 , . . . . a n a_1,a_2,....a_n a1,a2,....an
确定一组正交基 e 1 , e 2 , . . . . . . e n e_1,e_2,......e_n e1,e2,......en.

定义向量内积运算：
[ a , b ] = ∑ i = 1 n x i y i [a,b]=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i [a,b]=i=1∑nxiyi
b 1 = a 1 b_1=a_1 b1=a1
b r = a r − ∑ i = 1 r − 1 [ b i , a r ] [ b i , b i ] b i b_r=a_r-\sum_{i=1}^{r-1} \frac{[b_i,a_r]}{[b_i,b_i]}b_i br=ar−i=1∑r−1[bi,bi][bi,ar]bi
因此定义出一组正交基：
e i = 1 ∣ ∣ b i ∣ ∣ b i e_i=\frac{1}{||b_i||}b_i ei=∣∣bi∣∣1bi

证明过程

一个向量要想正交，则需要去掉另一个向量方向上的量。比如向量 a 2 a_2 a2要想和向量 a 1 a_1 a1正交，则需要消去 a 2 a_2 a2在 a 1 a_1 a1方向上的投影。即

a 2 c o s θ = a 1 ∗ a 2 ∣ a 1 ∣ e a 1 = [ a 2 . a 1 ] ∣ a 1 ∣ 2 a 1 = [ a 1 . a 2 ] [ a 1 . a 1 ] a 1 a_2cos\theta=\frac{a_1*a_2}{|a_1|} e_{a_1}=\frac{[a_2. a_1]}{|a_1|^2}a_1=\frac{[a_1.a_2]}{[a_1.a_1]}a_1 a2cosθ=∣a1∣a1∗a2ea1=∣a1∣2[a2.a1]a1=[a1.a1][a1.a2]a1

e a 1 e_{a_1} ea1为 a 1 a_1 a1方向上的单位向量。

则如果n维向量，则 a n a_n an需要消去从 a 1 a_1 a1到 a n − 1 a_{n-1} an−1方向上的量。也就是上面的那种形式。

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