CF1548D2 Gregor and the Odd Cows (Hard)

题意：
网格图上有n个点，不存在三点共线的情况，求面积为整数，内部点的个数为奇数的三角形个数。

Solution

简单的版本我做出来了，但是难的还差一点，主要是有几个性质没有发现。观摩大佬的做法，结合自己的理解写了一下题解。

这道题其实就是一道找性质的题，我们很容易联想到皮克定理，即S=a+b2+1S=a+\frac{b}{2}+1S=a+2b+1。

这样就能够把求内部的点转化成求边上的点。

然后我们在联系两个公式，一个是S=∣x1∗y2−x2∗y1∣2S=\frac{|x1*y2-x2*y1|}{2}S=2∣x1∗y2−x2∗y1∣，另外一个是b=gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)b=gcd(|x1|,|y1|)+gcd(|x2|,|y2|)+gcd(|x1-x2|,|y1-y2|)b=gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)。我们把连接点(x1,y1)(x1,y1)(x1,y1)和点(x2,y2)(x2,y2)(x2,y2)的边的长度设为gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)gcd(|x1-x2|,|y1-y2|)gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)。

接下来，我们把两个公式都代入进去并化简，得：
∣x1∗y2−x2∗y1∣=2∗(a−1)+gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)|x1*y2-x2*y1|=2*(a-1)+gcd(|x1|,|y1|)+gcd(|x2|,|y2|)+gcd(|x1-x2|,|y1-y2|)∣x1∗y2−x2∗y1∣=2∗(a−1)+gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)

因为aaa是奇数，所以可以把式子变成这样：

∣x1∗y2−x2∗y1∣≡gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)(mod4)|x1*y2-x2*y1|\equiv gcd(|x1|,|y1|)+gcd(|x2|,|y2|)+gcd(|x1-x2|,|y1-y2|) \pmod{4}∣x1∗y2−x2∗y1∣≡gcd(∣x1∣,∣y1∣)+gcd(∣x2∣,∣y2∣)+gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)(mod4)

到这里又要用到一个性质：因为bbb是偶数，所以三角形的三边的长度要么是偶偶偶，要么是偶奇奇。

直接令gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)gcd(|x1-x2|,|y1-y2|)gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)为偶数，两种情况要分开统计。

到这里又要有一个性质：如果xxx,yyy是偶数，则有gcd(x,y)mod4=gcd(xmod4,ymod4)gcd(x,y)\mod4=gcd(x\mod4,y\mod4)gcd(x,y)mod4=gcd(xmod4,ymod4)这个性质很容易推，就不证明了。

然后继续想，可以发现，如果点(x1,y1)(x1,y1)(x1,y1),(x2,y2)(x2,y2)(x2,y2),如果x1≡x2,y1≡y2,gcd(x1,y1)≡gcd(x2,y2)(mod4)x1\equiv x2,y1\equiv y2,gcd(x1,y1)\equiv gcd(x2,y2) \pmod{4}x1≡x2,y1≡y2,gcd(x1,y1)≡gcd(x2,y2)(mod4)，那么这两个点在统计的时候效果是一样的。（注：这里默认以原点为三角形的一点）

所以我们枚举一个点iii，用cnt[x][y][z]cnt[x][y][z]cnt[x][y][z]来记录x1≡x,y1≡y,gcd(x1,y1)≡z(mod4)x1\equiv x,y1\equiv y,gcd(x1,y1)\equiv z \pmod{4}x1≡x,y1≡y,gcd(x1,y1)≡z(mod4)的点的个数。然后暴力枚举统计，要注意重复的问题。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define dwn(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mod 1000000007
using namespace std;
template<typename T>inline void qr(T &x){x=0;int f=0;char s=gc();while(s<'0'||'9'<s)f|=s=='-',s=gc();while('0'<=s&&s<='9')x=x*10+s-48,s=gc();x=f?-x:x;
}
int cc=0,buf[31];
template<typename T>inline void qw(T x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;do{buf[++cc]=int(x%10);x/=10;}while(x);while(cc)pc(buf[cc--]+'0');puts("");
}
int ad(int x,int y){return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;}
int mu(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int de(int x,int y){return (x-y)<0?x-y+mod:x-y;}
void mymin(int &x,int y){x=x<y?x:y;}
void mymax(int &x,int y){x=x>y?x:y;}
const int N=6e3+10;
int n,x[N],y[N],cnt[4][4][4];
int S2(int x1,int y1,int x2,int y2){int res=x1*y2-x2*y1;res%=4;if(res<0)res+=4;return res;
}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main(){qr(n);rep(i,1,n)qr(x[i]),qr(y[i]);ll eee=0,eoo=0;rep(i,1,n){mst(cnt,0);rep(j,1,n)if(i!=j)cnt[x[j]%4][y[j]%4][gcd(abs(x[i]-x[j]),abs(y[i]-y[j]))%4]++;rep(x1,0,3)rep(y1,0,3)rep(b1,0,3){int kk=cnt[x1][y1][b1];cnt[x1][y1][b1]--;for(int x2=x1&1;x2<4;x2+=2)for(int y2=y1&1;y2<4;y2+=2)for(int b2=b1&1;b2<4;b2+=2){int S=S2(x1-x[i],y1-y[i],x2-x[i],y2-y[i])>>1;int b3=gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2));int res=S-(b1+b2+b3)/2+1;if(res&1){if(b1&1)eoo+=kk*cnt[x2][y2][b2];else eee+=kk*cnt[x2][y2][b2];}}cnt[x1][y1][b1]++;}}qw(eee/6+eoo/2);return 0;
}