EOF经验正交展开（一）——主成分分析

2024-05-07 11:55:56

作为水文人，近期学习与大气相关的统计方法，很多不懂之处，于是翻阅了《气象统计预报》这本书，学习过程中有一些体会，顺便记录下来，方便大家交流。

主成分分析的相关知识

1.主成分分析含义

主成分分析与EOF有很多相似之处，在了解EOF之前，首先了解主成分分析的一些基础知识。
设x1是10月副高强度指数的中心化资料；x2是10月副高面积指数的中心化资料，年代是1951-1979年，共29年。其回归方程如下图虚线所示。

回归方程表示用x1估计x2时，平均误差达到最小，仅仅表示了x1和x2之间的相关关系，不能同时反映两个变量的信息。那么如何用一个变量反映两个变量的主要信息？延申一下，如何用p个变量反映m个变量的主要信息呢？（p<<m），这是主成分分析要解决的内容。
可以找出一新的坐标系z1和z2，如果z1基本上可以反映x1和x2，则可以用z1综合表示x1和x2的信息。z1称为x1和x2的主成分，它的方程越大，综合x1和x2的能力越强。z1应满足：

从x1和x2到z1和z2的转换表示为：

略去第二个实际下标：

2.主成分求解

设研究m个变量，可以是m个气象要素，也可以是气象要素中m空间点的值，每个变量有n个观测量，写成矩阵形式：

将X进行线性变换，组成m个新的变量Z：

满足关系式：

原则上，要求新变量能最大限度地反映原m个变量的总方差，且新变量相互独立。因此，求新变量Z，就转化成求矩阵V（V是由X的协方差矩阵的特征向量组成的矩阵，证明见数学推导部分）的过程。步骤如下：
1）为了消除气候的多年平均变化，使各主成分平均值为0，应建立中心化（距平）资料矩阵

2）求出协方差矩阵S

3）求S矩阵的特征值λ和特征向量V。
4）求主成分Z，此时主成分是中心化的。

5）若m个变量属于不同的气象要素，为消去单位或者量纲的差别，可将X矩阵标准化处理：

数学推导

1.特征值和特征向量

设m阶方阵A，如果存在一个m维列向量V和一个非零λ，有

则称λ是矩阵A的特征值或特征根，V称为A对应于λ的特征向量。
若m阶方阵A满足/A/不为0，则A有m个非零特征值和相应的m个非零特征向量。
下面是求解A的特征值方法：

使v有非零向量解，其次方程需满足：

特征方程的解，就是A的特征值，λ1，λ2,…,λm。代回公式（1-2），即可求得特征向量

2.实对称矩阵的对角化

m阶方阵A，有m个特征向量，将m个特征向量作为列向量构成m阶方阵V：

则

由此可推出

在气象分析预报中，如果A取为协方差矩阵，或相关矩阵，将A化为对角阵，其效果相当于寻找原始预报因子的线性组合因子，使新的组合因子彼此独立，并且保留原始数据全部信息。这就是主成分分析的一个内容。

小结

以上是主成分相关的基础知识，其中省略了一些具体数学推导过程。后续再更新从主成分到EOF经验正交展开的转化。
本文推导均摘自施能的《气象统计预报》。

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