集合的相关概念（开闭、有界无界、内点边界点等）

闭包、开集、闭集、有界、无界、紧集、邻域、内点、边界点及边界

闭包

如果存在一个序列 $\{x_n\} \subset X$ 收敛到 $x$ ，那么称 $x$ 是 $R^n$ 的子集 $X$ 的一个闭包点或极限点。 $X$ 的闭包(closure)记为 $cl(X)$ ，是指 $X$ 的所有闭包点的集合。例如，闭包[1,10]内有无数个闭包点。

开集/闭集

$R^n$ 的子集 $X$ 被称作是闭(closed)的，如果它等于它的闭包。 $X$ 被称作是开(open) 的，如果它的补集 $\{x\ |\ x \notin X\}$ 是闭的。

有界/无界

$X$ 被称作是有界(bounded)的，如果存在标量 $c$ ，使得 $\left \| x \right \|\leqslant c$ 对于所有的 $x\in X$ 成立。否则，称为无界的。

紧集

$X$ 被称作是紧(compact)的，如果它是闭且有界的。

邻域

向量 $r$ 的邻域(neighborhood)是指包含 $r$ 的开集。

内点/边界点/边界

当 $X\subset R^n$ 且 $x \in X$ 时，如果存在一个 $x$ 的邻域包含于 $X$ ，称 $x$ 是 $X$ 的内点(neighborhood point)。不是 $X$ 的内点的向量 $x \in X$ 被称为 $X$ 的边界点(boundary point)。 $X$ 的所有边界点的集合被称为 $X$ 的边界(boundary)。

相关性质

(a)有限多个闭集的并集为闭集。

(b)闭集的交集为闭集。

(c)开集的并集为开集。

(d)有限多个开集的交集为开集。

(e)一个集合是开集，当且仅当它的所有元素都是其内点。

(f) $R^n$ 的每个子空间都是闭集。

(g) $R^n$ 的子集是紧集，当且仅当它是有界闭集。

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