【裴礼文数学分析】例1.2.1

2024-03-31 07:18:25

题面：

①

证明 $\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n+1}=1$

分析：

寻找N使得 n>N时

$\left |\sqrt[n]{n+1}-1 \right |<\varepsilon$ (显然左式>0)

对上式进行变换：

$\sqrt[n]{n+1}<\varepsilon +1$

进而 $n+1<(\varepsilon +1)^{n}$

利用二项式定理：

右式> $1+\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon ^{2}$

故只需： $1 +\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon ^{2}>n+1$

即 $(n-1)\varepsilon ^{2}>2$

故取 $N=\left \lfloor \frac{2}{\varepsilon ^{2}} \right \rfloor+1$

$n>N$ 时候即有 $\left |\sqrt[n]{n+1}-1 \right |<\varepsilon$

②

$\lim_{n \to \infty }b_{n}=b$ 证明： $\lim_{n \to \infty }\frac{\sum b_{i}}{n} =b$

简证：

step 1：转化为：已知： $\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$ 证明: $\lim_{n \to \infty }\frac{\sum a_{i}}{n} =0$ （变换可得）

step 2:

$\forall \varepsilon >0$ $\exists N_{1}\in N^{*}$ 使得

$n>N_{1}$ 时 $\left | a_{n} \right |<\frac{\varepsilon }{2}$

step 3:

因为 $N_{1}$ 之前（包括 $N_{1}$ ）的项和为有限数，记为 $A$ ，故

$\forall \varepsilon >0$ $\exists N_{2}\in N^{*}$ 使得

$n>N_{2}$ 时 $A<\frac{\varepsilon }{2}$

故

$\left | \frac{\sum a_{i}}{n} \right |<$ $\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$

证毕

另外，stolz定理能够简单证明②

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