第五章快速傅里叶变换(蝶形运算)

第五章 快速傅里叶变换 本章目录 直接计算DFT的问题及改进的途径 5.1 引言 DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频谱、功率谱和线性卷积等。 直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很大时，计算量非常大，所需时间会很长。 FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是DFT的一种快速计算的算法。 5.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 DFT的运算量 5.2.1 DFT的运算量 DFT运算量的结论 5.2.2 减少运算工作量的途径 5.3 按时间抽取的基2-FFT算法 算法原理 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图 5.3.1 算法原理 蝶形运算 以8点为例第一次按奇偶分解 蝶形运算量比较 进一步按奇偶分解 以8点为例第二次按奇偶分解 算法原理 以8点为例第三次按奇偶分解 5.3.2 按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 FFT算法与直接DFT算法运算量的比较 5.3.3 按时间抽取的FFT算法的特点 序列的逆序排列 倒位序的树状图(N=8) 码位的倒位序(N=8) 倒位序的变址处理(N=8) 同址运算(原位运算) 观察原位运算规律 蝶形运算两节点间的距离 的确定 5.4 按频率抽取的基2-FFT算法 算法原理 5.4.1 算法原理 蝶形运算 例 按频率抽取(N=8) 5.4.2 频率抽取法与时间抽取法的异同 频率抽取法输入是自然顺序，输出是倒位序的；时间抽取法正好相反。 频率抽取法的基本蝶形与时间抽取法的基本蝶形有所不同。 频率抽取法运算量与时间抽取法相同。 频率抽取法与时间抽取法的基本蝶形是互为转置的。 5.5 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 例 频率抽取IFFT流图(N=8) 快速傅里叶逆变换另一种算法 5.8 Matlab实现 用FFT进行谱分析的Matlab实现 用CZT进行谱分析的Matlab实现 5.8.1 用FFT进行谱分析的Matlab实现 例5.1程序清单 例5.1程序运行结果 例5.1程序运行结果分析 例5.1修改程序运行结果 以N=8为例： 第一级蝶形，距离为： 第二级蝶形，距离为： 第三级蝶形，距离为： 规律：对于共L级的蝶形而言，其m级蝶形运算的节 点间的距离为 1 2 4 蝶形运算两节点间的距离 以N=8为例： 的确定 再把输出X(k)按k的奇偶分组 先把输入按n的顺序分成前后两半 设序列长度为N=2L，L为整数 前半子序列x(n) 后半子序列 0≤n≤ 0≤n≤ 由DFT定义得 k=0，1， …，N 由于 所以 则 k=0，1， …，N 然后按k的奇偶可将X(k)分为两部分 r=0，1， …， 则式 可转化为 令 n=0，1， …， 代入 r=0，1， …， 可得 为2个N/2点的DFT，合起来正好是N点X(k)的值。 将 称为蝶形运算 与时间抽选基2FFT算法中的蝶形运算符号略有不同。 例 按频率抽取，将N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合(N=8) 与时间抽取法的推导过程一样，由于 N=2L，N/2仍然是 一个偶数，因而可以将每个N/2点DFT的输出再分解为偶数组 与奇数组，这就将N/2点DFT进一步分解为两个N/4点DFT。 N=8 IDFT公式 DFT公式 比较可以看出， IDFT多出 M个1/2可分解到M级蝶形运算中。 在Matlab中使用的线性调频z变换函数为czt，其调用格式为 >>X= czt(x, M, W, A) 其中，x是待变换的时域信号x(n)，其长度为N，M是变换的长度，W确定变换的步长，A确定变换的起点。若M= N，A= 1，则CZT变成DFT。 例5.1 设模拟信号 ，以 t= 0.01n (n=0: N-1) 进行取样，试用fft函数对其做频谱分析。N分别为：(1) N=45；(2) N=50；(3) N=55；(2) N=60。 程序清单如下 %计算N=45的FFT并绘出其幅频曲线 N=45;n=0:N-1;t=0.01*n; q=n*2*pi/N; x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); y=fft(x,N); figure(1) subplot(2,2,1) plot(q,abs(y)) title('FFT N=45') %计算N=50的FFT并绘出其幅频曲线 N=50;n=0:N-1;t=0.01*n; q=n*2*pi/N; x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t