23考研线性代数复习笔记(自用)
待补充
目录
- 一、行列式:
- 行列式概念和性质
- 重要行列式
- 按行(列)展开
- 行列式公式
- 克莱姆法则
- 二、矩阵
- 矩阵的运算
- 矩阵的逆
- 矩阵的初等变换
- 矩阵的秩
- 伴随矩阵
- 分块矩阵
- 三、向量
- 向量的概念及运算
- 线性组合和线性表示
- 线性相关和线性无关
- 极大线性无关组与向量组的秩
- 向量空间
- Schmidt正交化
- 四、线性方程组
- 方程组的表达形与解向量
- 解的判定与性质
- 基础解系
- 解的结构(通解)
- 公共解与同解
- 五、特征值与特征向量
- 矩阵的特征值与特征向量
- 相似矩阵
- 矩阵的相似对角化
- 实对称矩阵
- 六、二次型
- 二次型及其标准形
- 惯性定理及规范型
- 合同矩阵
- 正定二次型与正定矩阵
一、行列式:
行列式概念和性质
1、逆序数: 所有的逆序的总数 ;
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 ;
3、行列式性质:(用于化简行列式);
(1)行列互换(转置),行列式的值不变 ;
(2)两行(列)互换,行列式变号 ;
(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式 ;
(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和 ;
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变 ;
(6)两行成比例,行列式的值为0 ;
重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 ;
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式:
8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 ;
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0;
行列式公式
10、行列式七大公式:
克莱姆法则
11、克莱姆法则:
二、矩阵
矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;
(3)
2、转置的性质:
矩阵的逆
4、逆的性质:
5、逆的求法:
矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c;
(3)一行(列)乘 k加到另一行(列);
7、初等矩阵: 单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵 ;
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,会有
矩阵的秩
9、秩的定义: 非零子式的最高阶数;
注:
10、秩的性质:
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;
(2)A 为数字矩阵:A阶梯型(每行第一个非零元素的下面的元素均为0),r(A)=非零行的行数;
伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:
分块矩阵
13、分块矩阵的乘法: 要求前列后行分法相同;
14、分块矩阵求逆:
三、向量
向量的概念及运算
线性组合和线性表示
线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
9、线性相关的充要条件:
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关;
(2)部分相关,则整体相关;
(3)高维相关,则低维相关;
(4)以少表多,多必相关;
11、线性无关的充要条件
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关;
(2)低维无关,高维无关;
(3)正交的非零向量组线性无关;
(4)不同特征值的特征向量无关;
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法;
(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关;
极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一 ;
15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩(矩阵的秩 :非零子式的最高阶数);
16、极大线性无关组的求法
向量空间
Schmidt正交化
(2)单位化
四、线性方程组
方程组的表达形与解向量
解的判定与性质
3、齐次方程组:
4、非齐次方程组:
5、解的性质
基础解系
6、基础解系定义:
7、重要结论:
8、基础解系的求法
解的结构(通解)
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
10、非齐次线性方程组的通解
公共解与同解
13、重要结论
五、特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量
3、重要结论:
4、特征值与特征向量的求法
5、特征方程法
6、性质
相似矩阵
矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义:
10、相似对角化的充要条件
11、相似对角化的充分条件:
12、重要结论:
实对称矩阵
13、性质
六、二次型
二次型及其标准形
1、二次型:
(1)一般形式
(2)矩阵形式(常用):
2、标准形:如果二次型只含平方项,即
这样的二次型称为标准形(对角线);
3、二次型化为标准形的方法:
惯性定理及规范型
4、定义:
正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;
负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;
规范型:规范型中系数1的个数等于正特征值的个数 (或二次型正惯性指数),规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数 (或二次型负惯性指数)。不考虑+1, -1 顺序的情况下,规范型是唯一的;
5、惯性定理: 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。
注:
(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;
(2) p=正特征值的个数, q =负特征值的个数, p+q=非零特征值的个数 =r(A);
合同矩阵
注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价;
正定二次型与正定矩阵
23考研线性代数复习笔记(自用)相关推荐
- 23考研高等数学复习笔记(自用)
目录 一.函数极限与连续 泰勒公式 麦克劳林公式 常用等价无穷小 洛必达易错点: 其他结论: 二.数列极限 单调性 三.导数相关 基本求导公式: 特殊求导: 导数定义 高阶求导公式 子孙三代的关系 带 ...
- 【线性代数复习笔记】同济大学版第三章和第四章 矩阵的初等变换与线性方程组与向量组的线性相关性
[线性代数复习笔记]同济大学版第三章和第四章 矩阵的初等变换与线性方程组与向量组的线性相关性 1.矩阵的初等变换 矩阵的三种初等变换及性质 行阶梯形矩阵 矩阵的初等变换的性质 2.矩阵的秩 矩阵的秩的 ...
- 概率论专题-随机游动(复习笔记自用)
随机游动的基本模型: 直线上的一个质点,每经过一个单位时间,分别以概率p,q向右或向左移动一格,若该点在时刻0从原点出发,而且每次移动是相互独立的. 用随机变量描述质点的运动 (无限制随机游动的结果) ...
- Pandas复习笔记--自用
数据分析: 1.数据处理: 1>.Pandas: 1).numpy: 1.概述:numpy是专注于数值计算的拓展包,其算法库是由C写成的(调用C的API),提供了核心数据 ...
- 考研数学复习笔记——行列式2
重要性质 (3)为拉普拉斯公式 0可以为四个零或多个零 主对角线的为正 副对角线的看第二条公式 (4)为范德蒙公式,第三行为第二行的平方 心得: 化的简单 借助"0" 用余子式展开 ...
- 线性代数复习笔记——第一章
第一章 行列式 (1)由二元线性方程组引出二阶行列式.行列式是一个值,不是一个矩阵. (2)二阶和三阶行列式的值可以通过对角线法则计算,更高阶的不符合对角线法则. (3)根据全排列和逆序数的定义,给 ...
- Scua 23年Linux复习笔记
Linux 第一讲 Linux的起源.历史.特点.定义 Linux是一个类Unix内核的可以自由发布的实现版本,是一个操作系统的底层核心(内核) Linux => 内核 Linux系统 => ...
- 概率论-条件数学期望(复习笔记自用)
条件分布 实际上,求条件期望就是在新的概率空间上进行计算,即,因此也继承了期望的所有性质 如果,则E(X)=Eg(Y) 使用全概率公式,可以容易得到证明 理解,找到共性 正态分布的优良性质:正态分布的 ...
- 操作系统考研复试复习笔记
第一章 1.1 操作系统的特征 并发:并发和共享互为存在条件 **共享:**互斥共享方式(如两个进程同时调用摄像头资源)和同时共享方式(如两个进程同时在发文件,同时访问硬盘,不一定在微观上同步,但在宏 ...
- 2024考研《游戏设计概论》复习笔记-全集(1-6章)
预备2024年考研--复习笔记.记录<游戏设计概论>-姚晓光的笔记内容. 均为书籍摘抄重点内容,大家可以自行打印下载. 大家考研加油! 关注我查看更多复习知识哦~ 目录 ● ♠️第一章-对 ...
最新文章
- LabVIEW基础培训
- 如何使用一个单片机的IO口控制两个LED?
- Hexo博客NexT主题美化之顶部加载进度条
- 批量恢复加密图像,联邦学习真的危了? | CVPR 2021
- SPV、SPV节点和SPV钱包
- oracle远程物化视图
- 程序语言的概念知识笔记
- mysql数据生产数据分析_基于MySQL玩转SQL数据分析课程 互联网数据分析师-SQL数据分析实战视频教程...
- dom块级元素的各种宽高
- html跳转多个域名自动选择,nginx实现两个域名之间跳转配置
- 第四次课后作业及Sring类型的应用
- 杀毒软件免费下载 2013排行榜(TOP8)
- python框架支持套接字么_Python的框架比较:Django,金字塔,水瓶,Sanic,旋风,BottlePy等等...
- 浅谈CURD系统和CRQS系统
- 最长不含重复字符的字符串
- 小三上位中的数学问题
- Excel导出数据 基于注解实现 复制即可用
- Ubuntu20.04网络连接不上
- 蘑菇街2016招聘笔试
- 设计模式 - 六大设计原则之OCP(开闭原则)
热门文章
- linux+加载迅雷插件,linux下使用aria2c + chrome插件取代迅雷
- 【疑难杂症】AiO Runtimes 微软常用运行库合集工具一键式安装全部 Windows 系统必备常用运行库合集,解决各种.dll文件缺失问题
- 英伟达显卡控制面板没有显示设置的三种解决方法
- 【算法升级】仅有85K个参数的开源人脸检测算法
- 【电子技术基础(精华版)】整流与滤波电路
- keypress事件中键盘上每个键的KeyAscii值(易语言/VB)
- Charles 基础使用
- 2021-01-31
- l298n电机哪一端为正_L298N电机驱动模块原理
- 评侯捷的《深入浅出MFC》和李久进的《MFC深入浅出》