Python量化基础：时间序列的平稳性检验

时间序列数据的平稳性对于我们采用什么样的分析方式、选择什么样的模型有着至关重要的影响。

我们想一下，假如一个时间序列的波动趋势从来没有稳定过，那么它每个时期的波动对于之后一段时期的影响都是无法预测的，因为它随时可能“变脸”。而当一个时间序列的特征维持稳定，比如它的均值和方差是稳定的，那么我们认为在之后的一段时间里，它的数据分布跟历史的数据分布大概率是保持一致的，这时，我们就可以基于历史数据对未来的走势做一个预测，这能帮助我们找到更大概率成功的决策。

股票数据，就是极为常见的一种时间序列数据。在量化过程中应用时间序列分析手段时，我们往往需要先进行平稳性检验，从而选择合适的研究方法。

在学习平稳性之前，我们先了解一下自相关性的概念。

一、自相关性

自相关性与相关性

我们知道，相关性常用于统计两个变量之间是否存在某种关联。那么，自相关性代表了变量与自身之间的相关性，只不过一般情况下我们统计的是两组隶属于不同时间区间的数据。当两组数据的时间范围相同时，其相关性为1（相当于两组完全相同的数据）。

之前我们曾经学习过Pearson相关系数，自相关系数的计算和Pearson相关系数的计算过程非常相似，但是它们在分母上有些区别。Pearson相关系数的计算中，分母为两个变量的标准差之积；而在自相关系数的计算中，我们会直接使用第k期时间序列数据的方差：

ρl=Cov(Xk,Xk−l)Var(Xk)=γlγ0\rho_l = \frac{Cov(X_k, X_{k-l})}{Var(X_k)} = \frac{\gamma_l}{\gamma_0} ρl=Var(Xk)Cov(Xk,Xk−l)=γ0γl

其中，XkX_kXk是时间点k对应的随机变量，Xk−lX_{k-l}Xk−l则是时间点k往前数lll期对应的随机变量，γ0\gamma_0γ0是时间序列XkX_kXk的方差，γl\gamma_lγl是XkX_kXk与Xk−lX_{k-l}Xk−l之间的自协方差。

自协方差的计算与协方差的计算是一致的：

Cov(Xk,Xk−l)=∑i=1n(Xki−Xk‾)(Xk−li−Xk−l‾)Cov(X_k, X_{k-l}) = \sum_{i=1}^n{(X_k^i-\overline{X_k})(X_{k-l}^i-\overline{X_{k-l}})} Cov(Xk,Xk−l)=i=1∑n(Xki−Xk)(Xk−li−Xk−l)

事实上，自相关性存在一定的问题。一般来说，在一组时间序列数据中，相邻时间节点的数据间往往存在某些关联。第1期对第2期有影响，第2期对第3期有影响……也就是说，我们的自相关系数衡量的不仅仅是lll期之前的数据对当前期数据的影响，也包含了更早期的数据带来的间接影响。

为了解决这个问题，我们引入了偏自相关系数，它是XkX_kXk与Xk−lX_{k-l}Xk−l之间的条件自相关系数。其计算非常复杂，这里不再展开。好在我们可以用Python的statsmodels库非常轻易地完成计算。

自相关系数和偏自相关系数的计算

在Python中，可以用statsmodels提供的工具来计算自相关性和偏自相关性。我们以上证综指的收益率数据来进行演示。

import tushare as ts
from statsmodels.tsa import stattools
pro = ts.pro_api()df = pro.index_daily(ts_code='000001.SH', start_date='20180901')
print('自相关系数: \n', stattools.acf(df.pct_chg, nlags=10))
print('自相关系数: \n', stattools.pacf(df.pct_chg, nlags=10))

输出为：

自相关系数: [ 1.         -0.1692613  -0.03035227  0.22164563 -0.11543326 -0.05630536-0.18736445  0.04942778 -0.02089329 -0.00722488 -0.03940862]
自相关系数: [ 1.         -0.17100626 -0.06204206  0.21965218 -0.04895894 -0.08142805-0.30000036  0.00808857  0.01488787  0.11432786 -0.12407987]

可以看到，这里自相关系数和偏自相关系数的计算都返回了长度为10的数组。它们分别代表了当lll的取值为从0到10时的自相关性统计。这里acf()方法用于计算自相关系数，pacf()用于计算偏自相关系数，nlags参数用于指定最大的l，这里我们指定了10，所以就会最多对比当前期与10期之前的时间序列数据，这里10期就是10个交易日。

二、平稳性

平稳性分为强平稳和弱平稳。

强平稳的要求非常严格，它要求两组数据之间的任何统计性质都不会随着时间改变。其要求过于严苛，理论上很难证明、实际中难以检验，因此它基本上没有什么应用场景。

弱平稳

与强平稳对应的是弱平稳，其应用比较广泛，它有三个要求：

对于任意时期的时间序列XtX_tXt，有E(Xt)=μE(X_t) = \muE(Xt)=μ，即序列均值为常数；
对任意时期的时间序列XtX_tXt，其二阶矩存在（二阶矩即方差）；
对任意时期的时间序列XtX_tXt、任意的整数hhh、任意的阶数lll，都有γl(Xt)=γl(Xt+h)\gamma_l(X_t) = \gamma_l(X_{t+h})γl(Xt)=γl(Xt+h)，也就是说，当指定了两个时间点的距离hhh后，两组数据的lll阶自协方差不会随着时间波动，仅与阶数有关。

简而言之，一组时间序列数据的均值恒定、方差始终存在、自协方差不随时间波动，即可认定其为弱平稳序列。

强平稳与弱平稳之间并没有包含关系，弱平稳不一定是强平稳，强平稳也不一定是弱平稳。这是因为符合强平稳标准的时间序列数据不一定存在均值和方差，而当强平稳序列存在均值和方差时，它就一定也是弱平稳序列。

另外，一个服从正态分布的弱平稳时间序列也是强平稳的。这是因为在正态分布中，确定了均值和方差，也就确定了整个分布，也就是说该时间序列的不同时期的分布是相同的，这就符合了强平稳的定义。

三、平稳性的检验

我们还是用上证综指的行情数据来演示如何在Python中进行平稳性检验。

时序图

这次我们取稍长一些的时间区间：从18年6月份至今的数据。然后我们将日期字符串转换成日期类型，并且设置为数据框的索引，并且对数据按照时间增序排列。

df = pro.index_daily(ts_code='000001.SH', start_date='20180601')
df.index = pd.to_datetime(df.trade_date)
df = df.sort_index(ascending=True)
plt.figure(figsize=(10,5))
df.pct_chg.plot();

可以看到，上证综指的收盘收益率数据基本上是围绕着0轴上下波动，在0轴上方和下方的波动幅度基本一致。我们可以初步认定，该时间序列是平稳的。

自相关图和偏自相关图

我们还经常结合自相关图和偏自相关图来判断时间序列的平稳性。

plt.stem(stattools.acf(df.pct_chg));

可以看到，0阶自相关系数和0阶偏自相关系数都恒为1。在下面两幅图中，自相关系数和偏自相关系数迅速由1减小到0附近，之后随着阶数lll的上升在0轴上下小幅波动，这基本上是符合平稳性的要求的。

plt.stem(stattools.pacf(df.pct_chg));

单位根检验

前两种方式很直观，但也很主观。它们全靠肉眼的判断和判断人的经验，不同的人看到同样的图形，很可能会给出不同的判断。

因此我们需要一个更有说服力、更加客观的统计方法来帮助我们检验时间序列的平稳性，这种方法，就是单位根检验。

当一个时间序列的滞后算子多项式方程存在单位根时，我们认为该时间序列是非平稳的；反之，当该方程不存在单位根时，我们认为该时间序列是平稳的。其原理比较复杂，想要理解它需要较好的数学基础，因此这里我们主要看如何在Python中应用它，原理部分可以自行搜索相关资料阅读。

常见的单位根检验方法有DF检、ADF检验和PP检验，今天我们会用ADF检验来为大家演示。

在Python中，有两个常用的包提供了ADF检验，分别是statsmodel和arch。

from statsmodels.stats.diagnostic import unitroot_adfunitroot_adf(df.pct_chg)

输出为：

这里包含了检验值、p-value、滞后阶数、自由度等信息。我们看到了检验统计量为-14.46，远小于1%的临界值-3.47，即p值远小于0.01，因此我们拒绝原假设，认为该时间序列是平稳的。（这里原假设是存在单位根，即时间序列为非平稳的。)

使用arch的方法为：

from arch.unitroot import ADFADF(df.pct_chg)

其输出信息基本是一致的。

好，今天的内容就到这里，有任何问题都可以在下方留言，我们一起讨论。