数值分析第八章知识点总结——常微分方程数值解法

常微分方程数值解法

--------以下为各部分具体知识点：

一、引言

1.1 背景

1、原因：对于大量来源于实际问题的常微分方程，该初值问题存在唯一解，但其精确解却不能用初等函数表示出来。
2、常见方法：解析近似方法（级数解法，逐次逼近法），数值解法
3、相关概念：单步法、两步方法、多步法、显示公式、隐式公式

1.2 基本思想

y(xn+1)−y(xn)=∫xnxn+1f(x,y(x))dxy(x_{n+1}) - y(x_n) = \int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx y(xn+1)−y(xn)=∫xnxn+1f(x,y(x))dx

左矩形：
∫xnxn+1f(x,y(x))dx=hf(xn,y(xn))+O(h2)\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx = hf(x_n,y(x_n)) + O(h^2) ∫xnxn+1f(x,y(x))dx=hf(xn,y(xn))+O(h2)
EulerEulerEuler 公式
yn+1=yn+hf(xn,yn),n=0,1,⋅⋅⋅y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n), n = 0,1, ··· yn+1=yn+hf(xn,yn),n=0,1,⋅⋅⋅
梯形差分公式
{yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]y0=α,n=0,1,⋅⋅⋅\begin{cases} y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}[f(x_n,y_n) + f(x_{n+1},y_{n+1})] \\ y_0 = \alpha, n = 0,1, ··· \end{cases} {yn+1=yn+2h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]y0=α,n=0,1,⋅⋅⋅
EulerEulerEuler 中点公式
{yn+1=yn−1+2hf(xn,yn)y0=α,n=1,2,⋅⋅⋅\begin{cases} y_{n+1} = y_{n-1} + 2hf(x_n,y_n) \\ y_0 = \alpha, n = 1,2, ··· \end{cases} {yn+1=yn−1+2hf(xn,yn)y0=α,n=1,2,⋅⋅⋅

二、改进的 EulerEulerEuler 方法和 TaylorTaylorTaylor 展开方法

2.1 改进的 EulerEulerEuler 方法

{yn+1=yn+h2(K1+K2)K1=f(xn,yn)K2=f(xn+h,yn+hK1)y0=α,n=0,1,2,⋅⋅⋅\begin{cases} y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(K_1 + K_2) \\ K_1 = f(x_n, y_n) \\ K_2 = f(x_n + h, y_n + hK_1) \\ y_0 = \alpha, n = 0,1, 2,··· \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧yn+1=yn+2h(K1+K2)K1=f(xn,yn)K2=f(xn+h,yn+hK1)y0=α,n=0,1,2,⋅⋅⋅

2.2 误差分析

局部截断误差
y(xn+1)−yn+1y(x_{n+1}) - y_{n+1} y(xn+1)−yn+1
EulerEulerEuler 公式的局部截断误差： O(h2)O(h^2)O(h2)
改进的 EulerEulerEuler 公式的局部截断误差：O(h3)O(h^3)O(h3)
梯形公式的局部截断误差：O(h3)O(h^3)O(h3)
ppp 阶方法：如果单步差分方法的局部截断误差为 O(hp+1)O(h^{p+1})O(hp+1) 阶，则称该方法为 ppp 阶方法。

2.3 TaylorTaylorTaylor 展开方法

yn+1=yn+hf(xn,yn)+h22f(1)(xn,yn)+⋅⋅⋅+hpp!f(p−1)(xn,yn)y_{n+1} = y_n +hf(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2}f^{(1)}(x_n,y_n) + ··· + \frac{h^p}{p!}f^{(p-1)}(x_n,y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn)+2h2f(1)(xn,yn)+⋅⋅⋅+p!hpf(p−1)(xn,yn)

三、Runge−KuttaRunge-KuttaRunge−Kutta 方法

3.1 公式

3.2 二阶 R−KR-KR−K

1、公式
2、截断误差

3.3 三阶 R−KR-KR−K

1、公式
2、截断误差

3.4 四阶 R−KR-KR−K

1、公式
2、截断误差

3.5 变步长 R−KR-KR−K

四、单步方法的收敛性和稳定性

4.1 单步方法的收敛性

∣Φ(x,y,h)−Φ(x,y‾,h)∣≤L∣y−y‾∣|\Phi(x,y,h) - \Phi(x,\overline{y},h)| \le L|y - \overline{y}| ∣Φ(x,y,h)−Φ(x,y,h)∣≤L∣y−y∣

4.2 稳定性

绝对稳定、绝对稳定域、绝对稳定区间
公式
yn+1=f(λ,h)yny_{n + 1} = f(\lambda, h) y_n yn+1=f(λ,h)yn

五、线性多步方法（利用待定系数法构造线性多步方法）