1、TOPSIS法简介

2、TOSPSIS法基本思路

2.1 统一指标类型

2.2 标准化处理

2.3 确定正理想解和负理想解

2.4 计算距离

2.5 计算相对接近度

3、应用例题

3.1试根据下表，采用TPOPSIS法对鱼塘水质进行综合评价。

3.2利用matlab求解得：

3.3 图像化

1、TOPSIS法简介

TOPSIS算法是一种常见的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反应各评价方案之间的差距。逼近理想解排序法(the technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS)是一种通过比较样本值与理想值的距离实现综合评价的方法。

逼近理想解排序法采用相对接近度来表征各个评价对象与参考点的距离。首先在空间确定出参考点，包括最优和最劣点，然后计算各个评价对象与参考点的距离，与最优点越近或与最劣点越远说明被评价对象的综合特性越好。

2、TOSPSIS法基本思路

2.1 统一指标类型

评价指标可以分为正向指标和负向指标，一般可都统一为正向指标。注意各种类型的指标正向化。

2.2 标准化处理

假设有n个要评价的对象，m个已经正向化的评价指标，则可以构成一个 $m\times n$ 的矩阵 $(x_{ij})_{m\times n}$ ，采用下式进行指标标准化处理： $Z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}} x^{2}_{ij}}$ 。

2.3 确定正理想解和负理想解

确定各指标的理想解，有

正理想解 $Z^{+} = (Z^{+}_{1},Z^{+}_{2},\cdots,Z^{+}_{n}) = \underset{1\leq i\leq n}{max}{Z_{ij}}, j = 1,2,\cdots,m$ 。
负理想解 $Z^{-} = (Z^{-}_{1},Z^{-}_{2},\cdots,Z^{-}_{n}) = \underset{1\leq i\leq n}{max}{Z_{ij}}, j = 1,2,\cdots,m$ 。

2.4 计算距离

计算各指标离正负理想解的距离，有

正理想解距离 $D^{+}_{i} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z^{+}_{J} - Z_{ij})^{2}}$ 。
负理想解距离 $D^{-}_{i} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z^{-}_{J} - Z_{ij})^{2}}$ 。

2.5 计算相对接近度

计算各指标的相对接近度，即

$S_{i} = \frac{D^{-}_{i}}{D^{-}_{i} + D^{+}_{i}}$

相对接近度越大，越接近理想解。

3、应用例题

3.1试根据下表，采用TPOPSIS法对鱼塘水质进行综合评价。

鱼塘	含氧量（ppm）	细菌总数（个/ml）	PH (最佳7)	植物性营养物量（ppm）(最佳值10~20)
A	4.69	51	6.59	11.94
B	9.30	27	6.81	31.57
C	2.39	38	6.77	24.62
D	7.46	23	8.24	14.42

3.2利用matlab求解得：

正向化后的矩阵B=
4.6900 0 0.6694 1.0000
9.3000 24.0000 0.8468 0
2.3900 13.0000 0.8145 0.6007
7.4600 28.0000 0 1.0000

标准化后的矩阵Z =
0.3599 0 0.4950 0.6508
0.7136 0.6138 0.6262 0
0.1834 0.3325 0.6024 0.3909
0.5724 0.7161 0 0.6508

正理想距离
0.8094
0.6588
0.7045
0.6419

负理想距离
0.8365
1.0247
0.7913
1.0429
S =

0.5082
0.6087
0.5290
0.6190

3.3 图像化

可以得出D同学成绩最高。（综合评价得分可以结合熵权法）

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2.4 计算距离

2.5 计算相对接近度

3、应用例题

3.1试根据下表，采用TPOPSIS法对鱼塘水质进行综合评价。

3.2利用matlab求解得：

3.3 图像化

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