无限区间 (1)梯形法则，(2)辛普森法则，(3)龙伯格积分法或(4)高斯积分法，有一些适用的指导原则。

通常，更高阶的方法对于平滑函数更好。 如果不是，那么使用更简单的方法会更好，因为数据的变化不会反映在采样点上。 梯形法则适用于在均匀间隔的采样点处积分来自实验的数据。 这对于表现不佳的函数是有好处的。 辛普森的规则依赖于被积函数的更高阶的近似，以便准确。 而高斯积分是非常准确的，如果你需要均匀间隔的采样点，它不是令人满意的。

高斯积分

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#

# Functions to calculate integration points and weights for Gaussian

# quadrature

#

# x,w = gaussxw(N) returns integration points x and integration

# weights w such that sum_i w[i]*f(x[i]) is the Nth-order

# Gaussian approximation to the integral int_{-1}^1 f(x) dx

# x,w = gaussxwab(N,a,b) returns integration points and weights

# mapped to the interval [a,b], so that sum_i w[i]*f(x[i])

# is the Nth-order Gaussian approximation to the integral

# int_a^b f(x) dx

#

# This code finds the zeros of the nth Legendre polynomial using

# Newton's method, starting from the approximation given in Abramowitz

# and Stegun 22.16.6. The Legendre polynomial itself is evaluated

# using the recurrence relation given in Abramowitz and Stegun

# 22.7.10. The function has been checked against other sources for

# values of N up to 1000. It is compatible with version 2 and version

# 3 of Python.

#

# Written by Mark Newman , June 4, 2011

# You may use, share, or modify this file freely

#

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from numpy import ones,copy,cos,tan,pi,linspace

def gaussxw(N):

# Initial approximation to roots of the Legendre polynomial

a = linspace(3,4*N-1,N)/(4*N+2)

x = cos(pi*a+1/(8*N*N*tan(a)))

# Find roots using Newton's method

epsilon = 1e-15

delta = 1.0

while delta>epsilon:

p0 = ones(N,float)

p1 = copy(x)

for k in range(1,N):

p0,p1 = p1,((2*k+1)*x*p1-k*p0)/(k+1)

dp = (N+1)*(p0-x*p1)/(1-x*x)

dx = p1/dp

x -= dx

delta = max(abs(dx))

# Calculate the weights

w = 2*(N+1)*(N+1)/(N*N*(1-x*x)*dp*dp)

return x,w

def gaussxwab(N,a,b):

x,w = gaussxw(N)

return 0.5*(b-a)*x+0.5*(b+a),0.5*(b-a)*w

计算实例

使用高斯积分的数值算法求解高斯积分

做积分变换

得到

from gaussxw import gaussxwab

from math import exp

def f(z):

return exp(-z**2/(1-z)**2)/(1-z)**2

N = 50

a = 0.0

b = 1.0

x,w = gaussxwab(N,a,b)

s = 0.0

for k in range(N):

s += w[k]*f(x[k])

print(s)

the value of the actual integral is √π/2, and Gaussian quadrature is accurate to machine precision.

重写基本积分公式(6.3)通常很有用，这样我们就可以将加权函数W(x)与被积函数分开：

高斯求积方法, N个点和权重选择的近似误差消失如果g (x)是一个(2 N-1)度多项式。为了得到这个不可思议的优化，点

最终在[a, b]上有一个特定的分布。一般情况下，如果g(x)是光滑的，或者可以通过提出一些W(x)来使其光滑(表6.2.4)，那么对于相同数量的点，高斯算法将比梯形规则和辛普森规则产生更高的精度。有时被积函数可能不是光滑的，因为它在不同的区域有不同的行为。在这些情况下，分别对每个区域进行积分，然后将答案相加是有意义的。事实上，一些“智能”积分子例程决定使用多少个区间以及在每个区间中使用什么规则。

表6.2.4所示规则均为高斯分布，一般形式为(6.32)。我们可以看到，在一种情况下权重函数是指数函数，在另一种情况下是高斯函数，在几种情况下是可积分奇点。与等间距规则不同，在区间的极值处从来不存在积分点，而点的值和权值随着点的个数N的变化而变化。虽然我们将离开高斯点的推导和权重数值方法的引用,我们注意,对于普通高斯(Gauss-Legendre)积分,然后点易变成零的勒让德多项式,权重0相关的微分,

。在数学函数库中，生成这些点和权重的子例程是标准的，可以在[A&S 72]之类的表中找到，或者可以计算。我们提供的高斯子例程还将点缩放到指定区域。为了检查您的观点是否正确，您可能需要将它们与表6.1中的四点集进行比较。

映射积分点

GaussPoints.py

# GaussPoints.py: N point Gaussian quadrature pts & Wts generation

import numpy as np

def GaussPoints(Npts, a, b, x, w, eps):

m = 0; i = 0; j = 0; t = 0.; t1 = 0.; pp = 0.

p1 = 0.; p2 = 0.; p3 = 0.

m = int((Npts+1)/2)

for i in range(1, m+1):

t = np.cos(np.pi*(float(i)-0.25)/(float(Npts)+0.5))

t1 = 1

while((abs(t-t1)) >= eps):

p1 = 1. ; p2 = 0.

for j in range(1, Npts + 1):

p3 = p2; p2 = p1

p1 = ((2.*float(j)-1)*t*p2 - (float(j)-1.)*p3)/(float(j))

pp = Npts*(t*p1 - p2)/(t*t - 1.)

t1 = t

t = t1 - p1/pp

x[i-1] = -t

x[Npts-i] = t

w[i-1] = 2./( (1.-t*t)*pp*pp)

w[Npts-i] = w[i-1]

for j in range(0, Npts): # Scale [-1,+1] to [a,b]

x[j] = x[j]*(b-a)/2. + (b+a)/2.

w[j] = w[j]*(b-a)/2.

from numpy import *; from GaussPoints import GaussPoints

Npts = 10; Ans = 0; a = 0.; b = 1.; eps = 3.E-14

w = zeros(2001, float); x = zeros(2001, float) # Arrays

def f(x): return exp(x) # Integrand

GaussPoints(Npts, a, b, x, w, eps) # eps: precison of pts

for i in range(0,Npts): Ans += f(x[i])*w[i] # Sum integrands

print ('\n Npts =', Npts, ', Ans =', Ans)

print (' eps =',eps, ', Error =', Ans-(exp(1)-1) )