[编程题] 合唱

时间限制：2秒

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小Q和牛博士合唱一首歌曲,这首歌曲由n个音调组成,每个音调由一个正整数表示。
对于每个音调要么由小Q演唱要么由牛博士演唱,对于一系列音调演唱的难度等于所有相邻音调变化幅度之和, 例如一个音调序列是8, 8, 13, 12, 那么它的难度等于|8 - 8| + |13 - 8| + |12 - 13| = 6(其中||表示绝对值)。
现在要对把这n个音调分配给小Q或牛博士,让他们演唱的难度之和最小,请你算算最小的难度和是多少。
如样例所示: 小Q选择演唱{5, 6}难度为1, 牛博士选择演唱{1, 2, 1}难度为2,难度之和为3,这一个是最小难度和的方案了。

输入描述:

输入包括两行,第一行一个正整数n(1 ≤ n ≤ 2000) 第二行n个整数v[i](1 ≤ v[i] ≤ 10^6), 表示每个音调。

输出描述:

输出一个整数,表示小Q和牛博士演唱最小的难度和是多少。

输入例子1:

5
1 5 6 2 1

输出例子1:

1 算法原理：

题目其实就是把一个数组分成两组，求每一组的相邻元素差的绝对值之和，再求它们的和，求最小值。

假设数组被分为A组B组，定义：

dp[i][j] (0<=i, j <= n - 1):

如下图左方所示，第i个元素分在了A组，第j个元素分在了B组，小于等于max(i, j)的元素都已经分完，大于max(i, j)的元素还没有分。其中*表示所有小于max(i, j)的元素。

如下图右方所示，所有的元素都已经分完。其中?表示所有大于max(i, j)的元素。

dp[i][j]记录把大于max(i, j)的元素（即图中的?）分完从而增加的和的最小值。也就是说，dp[i][j]仅记录添加了[max(i, j)+1, n]的元素引起的和的增加，且仅记录最小值。

A: *****i A: *****i????

==>

B: ***j B: ***j????????

PS：有点拗口，我也是分析了大牛的源码之后总结出来的。

易得，dp[i][j] = dp[j][i]

计算结果（求最小值）：

当n <= 2时，最小值为0

当n > 2时，分组后为最小值的情况下，A,B组一定都有元素，且其中位置在[0, i] (0 <= i < n-1) 的元素都分在了一组，第i+1个元素分在了另一组。因此，最小值为min{dp][i][i+1] + abs_sum(arr[0,...,i]), 0 <= i < n-1}

2 递推公式：

(1) max(i, j) == n - 1时，所有元素分配完毕，因此 dp[i][j] = 0

(2) max(i, j) < n - 1时，下一个元素next = max(i, j) + 1有两种分配分法：

(2.1) next分在A组：

A: *****i A: *****i next

==>

B: ***j B: ***j

则 dp[i][j] = dp[next][j] + abs(arr[next] - arr[i])

(2.2) next分在B组：

A: *****i A: *****i

==>

B: ***j B: ***j next

则dp[i][j] = dp[i][next] + abs(arr[next] - arr[j])

因此：

dp[i][j] = min(dp[next][j] + abs(arr[next] - arr[i]) , dp[i][next] + abs(arr[next] - arr[j]))

3 源码：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>inline int max(int x, int y)
{return x > y ? x : y;
}inline int min(int x, int y)
{return x < y ? x : y;
}inline int abs_diff(int x, int y)
{return x > y ? x - y : y - x;
}int get_min_sum(int **dp, int *arr, int n)
{int i, j;int next;int res;int first_i_sum;for (i = 0; i < n; i++) dp[i][n - 1] = 0;for (j = 0; j < n; j++) dp[n - 1][j] = 0;for (i = n - 2; i >= 0; i--){for (j = n - 2; j >= 0; j--){next = max(i, j) + 1;dp[i][j] = min(dp[next][j] + abs_diff(arr[next], arr[i]) , dp[i][next] + abs_diff(arr[next], arr[j]));}}res = dp[0][1];first_i_sum = 0;for (i = 1; i < n - 1; i++){first_i_sum += abs_diff(arr[i - 1], arr[i]);res = min(res, dp[i][i + 1] + first_i_sum);}return res;
}int main()
{int n;int *arr;int **dp;int res;int i;scanf("%d", &n);if (n <= 2){printf("0");return 0;}arr = (int *)malloc(sizeof(*arr) * n);for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &arr[i]);}dp = (int **)malloc(sizeof(*dp) * n);for (i = 0; i < n; i++){dp[i] = (int *)malloc(sizeof(*dp[0]) * n);}res = get_min_sum(dp, arr, n);printf("%d", res);for (i = 0; i < n; i++){free(dp[i]);}free(dp);free(arr);return 0;
}

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