一、部分概念的定义

维数：一个向量空间VVV的基所含向量的个数叫做VVV的维数
极大线性无关组：若向量组{α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}{α1,α2,…,αn}的一个部分向量组{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}被称为一个极大线性无关组，则需满足以下条件：
- αi1,αi1,…,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}αi1,αi1,…,αir线性无关
- 每一个αj,j=1,…,n\alpha_j,j=1,\ldots,nαj,j=1,…,n，都可以由αi1,αi1,…,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}αi1,αi1,…,αir线性表示
向量组的秩：向量组{α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}{α1,α2,…,αn}的一个极大线性无关组{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}中所含向量的个数rrr称为向量组的秩，记作rank(α1,α2,…,αn)=rrank(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=rrank(α1,α2,…,αn)=r或r(α1,α2,…,αn)=rr(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=rr(α1,α2,…,αn)=r
矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。
矩阵的行秩：矩阵每一个行向量所构成的向量组的秩
矩阵的列秩：矩阵每一个列向量所构成的向量组的秩

二、概念间的联系

设矩阵AAA是一个m×nm\times nm×n的矩阵，令{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}是AAA的行向量（这mmm个向量所构成的一个向量空间称之为矩阵AAA的行空间），再令{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}是这组行向量的极大线性无关组。

根据定义可知，矩阵AAA的行空间中的每一个向量均可以由向量组{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}线性表示出来，而根据极大线性无关组的定义，{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}亦可由{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}线性表示出来，故矩阵AAA的行空间中的每一个向量均可以由{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}线性表示出来，同时{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}是线性无关的，所以{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}就是矩阵AAA的行空间中的一个基。根据维数的定义，可以知道此时矩阵AAA的行空间的维数就是rrr，再根据向量组秩的定义，此时向量组{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}的秩也是rrr，而同时，矩阵AAA的行秩就是矩阵AAA的行向量组的秩，所以矩阵AAA的行秩本质上就是和矩阵AAA的行空间的维数是等价的。

与上面的定义类似，可以得出结论：矩阵AAA的列秩本质上就是和矩阵AAA的列空间的维数是等价的。所以在探求 “矩阵的秩=该矩阵的行秩=该矩阵的列秩” 这个问题上，可以换而言之，是在探求 “矩阵的秩=该矩阵的行空间的维数=该矩阵的列空间的维数” 这个问题，所以等式可以归并为 “矩阵AAA的秩(r(AAA))=AAA的行秩(矩阵AAA的行空间的维数)=AAA的列秩(矩阵AAA的列空间的维数)”。

三、定理的推导与证明

首先看一个引理：设矩阵AAA是一个m×nm\times nm×n矩阵。

( i ) 如果B=PAB=PAB=PA，PPP是一个mmm 阶可逆矩阵，那么BBB与AAA有相同的行空间；

( ii ) 如果C=AQC=AQC=AQ，QQQ是一个nnn阶可逆矩阵，那么CCC与AAA有相同的列空间；

证：

定义A=(aij)mn,P=(pij)mn,B=(bij)mn,C=(cij)mn,Q=(qij)nnA=(a_{ij})_{mn},P=(p_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn},C=(c_{ij})_{mn},Q=(q_{ij})_{nn}A=(aij)mn,P=(pij)mn,B=(bij)mn,C=(cij)mn,Q=(qij)nn。

令{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}是AAA的行向量，{β1,β2,…,βm}\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\}{β1,β2,…,βm}是BBB的行向量。BBB的第iii行等于PPP的第iii行右乘以矩阵AAA：
βi=(bi1,bi2,…,bin)=(pi1,pi2,…,pim)A=(pi1,pi2,…,pim)(α1α2⋮αm)=pi1α1+pi2α2+⋯+pimαm(1)\begin{aligned} \beta_i & =(b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im})A \\ & =(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{im}) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} \\ &=p_{i1}\alpha_1 + p_{i2}\alpha_2 + \dots + p_{im}\alpha_m \end{aligned} \tag{1} βi=(bi1,bi2,…,bin)=(pi1,pi2,…,pim)A=(pi1,pi2,…,pim)⎝⎜⎜⎜⎛α1α2⋮αm⎠⎟⎟⎟⎞=pi1α1+pi2α2+⋯+pimαm(1)

根据公式(1)可以得知BBB的每一个行向量都是AAA的行向量的线性组合，但PPP是可逆的，所以A=P−1BA=P^{-1}BA=P−1B，因此AAA的每一个行向量都是BBB的行向量的线性组合。因此可以得知，向量组{α1,α2,…,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}{α1,α2,…,αm}和{β1,β2,…,βm}\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m\}{β1,β2,…,βm}等价，所以它们生成了同一个向量空间，故BBB与AAA有相同的行空间，也即(i)得证。

令{γ1,γ2,…,γn}\{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\}{γ1,γ2,…,γn}是AAA的列向量，{η1,η2,…,ηn}\{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\}{η1,η2,…,ηn}是CCC的列向量。CCC的第iii列等于AAA右乘以QQQ的第iii列：
ηi=(c1ic2i⋮cmi)=A(q1iq2i⋮qni)=(γ1,γ2,…,γn)(q1iq2i⋮qni)=q1iγ1+q2iγ2+⋯+qniγn(2)\begin{aligned} \eta_i & = \begin{pmatrix} c_{1i} \\ c_{2i} \\ \vdots \\ c_{mi} \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ & =(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n) \begin{pmatrix} q_{1i} \\ q_{2i} \\ \vdots \\ q_{ni} \end{pmatrix} \\ &=q_{1i}\gamma_1 + q_{2i}\gamma_2 + \dots + q_{ni}\gamma_n \end{aligned} \tag{2} ηi=⎝⎜⎜⎜⎛c1ic2i⋮cmi⎠⎟⎟⎟⎞=A⎝⎜⎜⎜⎛q1iq2i⋮qni⎠⎟⎟⎟⎞=(γ1,γ2,…,γn)⎝⎜⎜⎜⎛q1iq2i⋮qni⎠⎟⎟⎟⎞=q1iγ1+q2iγ2+⋯+qniγn(2)
根据公式(2)可以得知CCC的每一个列向量都是AAA的列向量的线性组合，但QQQ是可逆的，所以A=CQ−1A=CQ^{-1}A=CQ−1，因此AAA的每一个列向量都是CCC的列向量的线性组合。因此可以得知，向量组{γ1,γ2,…,γn}\{\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\}{γ1,γ2,…,γn}和{η1,η2,…,ηn}\{\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n\}{η1,η2,…,ηn}等价，所以它们生成了同一个向量空间，故CCC与AAA有相同的列空间，也即(ii)得证。故引理得证！

根据矩阵的初等变换性质，对于任意一个m×nm\times nm×n矩阵AAA，总存在mmm阶可逆矩阵PPP和nnn阶可逆矩阵QQQ，使得
PAQ=(IrOOO)(3)PAQ= \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{3} PAQ=(IrOOO)(3)
公式(3)中的rrr等于AAA的秩。两边各乘以Q−1Q^{-1}Q−1得
PA=(IrOOO)Q−1(4)PA= \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}Q^{-1} \tag{4} PA=(IrOOO)Q−1(4)
假设{α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}{α1,α2,…,αn}是Q−1Q^{-1}Q−1的行向量，则根据矩阵乘法的规则，可得
PA=(α1⋮αr0⋮0)(5)PA= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \tag{5} PA=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛α1⋮αr0⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞(5)
根据公式(5)可以得知PAPAPA只保留了Q−1Q^{-1}Q−1的前rrr行，且由于Q−1Q^{-1}Q−1可逆，所以它的行向量线性无关（若线性相关，对矩阵进行行初等变换必会出现至少一行的元素全为0，矩阵的行列式不可能非零），因为它的前rrr行也线性无关。于是PAPAPA的行空间的维数等于rrr。由上面的引理可知AAA的行空间的维数等于rrr，也即AAA的行秩等于rrr。另一方面，将等式(3)左乘以P−1P^{-1}P−1得
AQ=P−1(IrOOO)(6)AQ=P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \\ \end{pmatrix} \tag{6} AQ=P−1(IrOOO)(6)
与上面的推导类似，可以得知AQAQAQ的列空间的维数等于rrr，从而AAA的列空间的维数也等于rrr，也即AAA的列秩等于rrr。这样就可以得出结论：矩阵AAA的秩(r(AAA))=AAA的行秩(矩阵AAA的行空间的维数)=AAA的列秩(矩阵AAA的列空间的维数)。

若再结合向量组的秩的概念以及行秩就是矩阵的行向量组的秩这一本质，亦可得出矩阵AAA的秩(r(AAA))=矩阵AAA的行向量组的极大无关组所含向量的个数=矩阵AAA的列向量组的极大无关组所含向量的个数。

证明矩阵的秩=行秩=列秩相关推荐

线性代数 --- 线性代数基本定理上（四个基本子空间的维数，行秩=列秩）
由向量张成VS用条件约束构造子空间的方法主要有两种: 1,一种是给出一组向量,由他们来张成子空间. 例如,矩阵的列空间和行空间就是通过这种方法来构造的. 2,一种是给出子空间所应受到的约束,满足这些 ...
行秩列秩一定相等吗_从不同角度看行秩与列秩
线性代数中, 有那么几个神秘又神奇的东西, 总是让初学它的人琢磨不透, 无法理解,其中就有矩阵的行向量和列向量的关系,为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量, 列向量里就一定也有多少个线 ...
利用向量组证明矩阵的秩不等式
假设α和β完全线性无关 r3 = r1 + r2 反之:r3 < r1+r2 假设β完全可有α线性表示 max(r1,r2)= r3, 反之: r3> max(r1,r2)
线性代数（5）—— 向量组的秩和矩阵的秩
参考:张宇高等数学基础30讲文章目录 1. 向量组的秩 1.1 极大线性无关组 1.2 等价向量组 1.3 向量组的秩 1.4 重要定理和公式 1.5 向量空间 1.5.1 基本概念 1.5.2 基 ...
矩阵行秩与列秩的关系。
1.行秩与列秩前序: 所以,行秩与列秩的关系为,一般情况下总是相等,这也是为什么, 我们既可以: 通过行变换也可以通过列变换求秩. 通过对行的初等列变换,以及对列的初等行变换求极大无关组,都是可以的 ...
线性空间一些基本性质的证明
线性代数里面蕴含着丰富的数形结合思想,结合图形来理解,难度会小很多,以下证明不一定严密,但至少不依赖任何技巧的花哨的数学方法,依赖空间直觉得出自然而然的结论,学习线性空间理论,应该低起点,高观点. 0 ...
【线代】矩阵的秩和线性方程组的解的情况
行最简型矩阵:(也可以叫做行最简阶梯型矩阵,或者行简化阶梯型矩阵),其特点是:非零行的首非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为0.所谓的行最简的意思就是对应的方程组是"最简单的&qu ...
《速通深度学习数学基础》
目录序前言第1章线性代数的基本概念 1.1 向量和深度学习 1.2 向量距离计算 1.3 向量的基本性质 1.4 矩阵的基本概念 1.5 一些特殊的矩阵第2章线性代数在深度学习中的应用 2 ...
Datawhale2021年11月组队学习——绪论与深度学习概述数学基础
以下内容为对Datawhale2021年11月组队学习中"水很深的深度学习"课程的绪论与深度学习概述以及数学基础的简要总结,其中小部分内容参考了网上一些资料. 原文链接: http ...
线性代数(12)——向量空间、维度和四大子空间(上)
向量空间.维度和四大子空间空间的概念欧几里得空间向量空间广义向量空间子空间欧几里得空间的子空间维度概念子空间和维度行空间和矩阵的秩行空间行秩列空间与列秩行空间和列空间对比 ...

证明矩阵的秩=行秩=列秩

文章目录

一、部分概念的定义

二、概念间的联系

三、定理的推导与证明

证明矩阵的秩=行秩=列秩相关推荐

最新文章

热门文章