【静夜思】一些抽象代数的核心思想和实际应用

一些<<抽象代数>>的核心思想和实际应用(持续更新)

抽象代数是现代代数的基础,以其晦涩和高度概括性而著称,如果介绍一些它的实际应用和核心思想,会对大家学习有所裨益.本文的特点是形散(采自网络)而神不散(主题明确).

核心思想

作者：Yuhang Liu

抽象代数其实起源于数论。很多重要的概念，比如环、理想，都来自于数论的研究。比如理想，一开始是数论学家研究费马大定理的时候发现有些整环不是UFD，于是开始用素理想来代替素数，这样在Dedekind domain理想的分解仍然满足唯一因子分解，但是“数”（元素）本身分解成素因子乘积的方式则不一定唯一。学抽代的时候要多积累例子，比如数论里面就有很多有趣的例子。

抽代一开始那些抽象的语言只不过是提供一个框架，某种意义上和集合论差不多，要掌握了足够多的例子才能看到它的内容。

作者：匿名用户

不要想的太玄，抽象代数是一个普通的概念系统，就像学习其他的概念一样去学习即可。它的难点主要在于两点：

内涵的抽象性
外延的非直观性举例而言：如何认识苹果这个概念？

通过各种感官提取出苹果的特征如圆形，甜味，脆，红色等等，再概括为“苹果”这个概念。这个过程不会让人感到困难，在于：利用感官抽象出事物的特征是我们的先天禀赋，是一个自动化的过程，意识不参与进来；

其次，苹果作为一个独立概念，需要处理的工程量很小。而抽象代数作为一个“人工”概念系统，

其一，结构复杂，由大量的独立概念复合而成，在了解所有部分之前很难对整体有直观印象，所以需要大量例子帮学习者从多个不同角度和层次去“观察”这个系统的成分和结构，这是学习任何一个学科都会遇到的；
其二，抽象代数系统的刻画是由高度专业化的数学语言实现的，人类的感觉系统所起作用不大，必须要调动意识层面的处理，也就是思考，而思考是毫无水分的“体力活”，就像爬山，路径或许不同，但都是实打实的功夫，不要抱偷懒的心理。

作者：乐文好墨

如果说Newton时代创造的微积分是用函数的观点了解世界，那么以Galois为代表的近世代数则是以结构的观点去剖析万物。所以近世代数一定要尽早学！要说近世代数的用途，那真是多了去了。但你要问本科阶段学的代数有啥用，那么只能说，它给你另一种世界观，培养你跳出计算，分析结构的技能。

作者: zyearn

对于一个群GGG，我们已经知道它的一少部分信息，就如同一个黑匣子，我们大概知道它的一些表面信息。要掌握它的内部结构，就要用群在集合上的作用这一“X光”，底片就是群所作用的集合。通过分析解读群在集合上的作用的效果，也就是透射出来的“胶片”，来获取群GGG的内部信息。当然这个集合不能是随便哪个集合都可以的，要利用已知的信息，构造一个合适的集合，以及群在这一集合上的某个合适的作用。如果你掌握了这种思想，就可以随时推导出Sylow定理的证明来。

作者：strongart

有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数xxx，并不能让你真正领会xxx的精神，只有直接用xxx来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。

抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。

第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。
此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。
此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器是共轭类，由此衍生出正规子群的概念。
而更加深刻的武器则是Sylow定理。仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。

只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！

作者：马同学

运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。其中有种特殊的集合+运算就是群。

简单来说，群的作用是描述对称。什么叫对称？我们来看看：正方形对称吗?物理定律对称吗？多项式的根对称吗？

上面的问题的答案都是：对称！对称就是：“某种操作下的不变性”，关键字是两个：“操作”和“不变性”，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。

作者：匡世珉

说好的『结构』呢:
那如果我告诉你群其实长这样呢(Cayley图)：

描绘的是群同构第一基本定理:

实际应用

作者：TomHall

有人在用haskell写一个机器学习库的时候发现，因为朴素贝叶斯在不同样本点上训练出来的模型构成了一个群，可以很容易地定义加法运算合并起来，免去了重复训练的需求。于是在做k-fold cross validation的时候只需要在每一折上单独训练，从而把复杂度从O(kn)降低为O(n)。如果能发现其他模型有类似的代数性质，也可以使用同样的方法降低cv的开销。

作者：chris

抽象代数教会了你从同态,同构的角度去看待问题,特别是同态的思想,你看实分析中的几乎处处收敛,微分几何中的切矢,余切,都是通过同态和同构这两个强大的工具构造出来的
其他具体应用可能就是物理了,特别是李群在量子力学,中可谓是大范围的使用