在《高斯型积分公式(一)》中给出了一个构造高斯型积分公式的例子，可以看到构造与权函数 ρ(x)\rho(x)ρ(x) 正交的多项式函数 ωn+1(x)\omega_{n+1}(x)ωn+1(x)，(这一步本质上是在选择积分节点)，而后再进行积分系数求解这一完整过程是相当复杂的。
在《函数最佳逼近(一)》中为了得到易于求解且数值稳定的正规方程，我们尝试选择正交多项式序列作为基函数，从而引出了具有带权正交性质的勒让德多项式、切比雪夫多项式等。

高斯积分公式

勒让德求积公式.
- 低阶GL公式.
切比雪夫公式.
一叨.

勒让德求积公式.

取权函数 ρ(x)=1\rho(x)=1ρ(x)=1，积分区间为 [−1,1][-1,1][−1,1].
由于勒让德多项式在区间 [−1,1][-1,1][−1,1] 正交：∫−11Pm(x)Pn+1(x)dx=0;m=0,1,...,n\int^{1}_{-1}P_m(x)P_{n+1}(x)dx=0;~m=0,1,...,n∫−11Pm(x)Pn+1(x)dx=0; m=0,1,...,n取 ωn+1(x)=1an+1Pn+1(x)\omega_{n+1}(x)=\frac1{a_{n+1}}P_{n+1}(x)ωn+1(x)=an+11Pn+1(x)，其中 an+1a_{n+1}an+1 是 Pn+1(x)P_{n+1}(x)Pn+1(x) 首项系数，并且我们发现此时 ωn+1(x)\omega_{n+1}(x)ωn+1(x) 的零点与 Pn+1(x)P_{n+1}(x)Pn+1(x) 的零点相同。所以Ak=∫−11ωn+1(x)(x−xk)ωn+1′(xk)⋅dx=∫−11Pn+1(x)(x−xk)Pn+1′(xk)⋅dxA_k=\int_{-1}^1\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}·dx=\int_{-1}^1\frac{P_{n+1}(x)}{(x-x_k)P'_{n+1}(x_k)}·dxAk=∫−11(x−xk)ωn+1′(xk)ωn+1(x)⋅dx=∫−11(x−xk)Pn+1′(xk)Pn+1(x)⋅dx计算得到Ak=2(1−xk2)[Pn+1′(xk)]2A_k=\frac2{(1-x_k^2)[P'_{n+1}(x_k)]^2}Ak=(1−xk2)[Pn+1′(xk)]22
概括来说，上述公式使用勒让德多项式的零点作为高斯节点，因此称为高斯-勒让德求积公式。积分误差表示如下：R(f)=22n+3[(n+1)!]4(2n+3)[(2n+2)!]3⋅f(2n+2)(η)R(f)=\frac{2^{2n+3}[(n+1)!]^4}{(2n+3)[(2n+2)!]^3}·f^{(2n+2)}(\eta)R(f)=(2n+3)[(2n+2)!]322n+3[(n+1)!]4⋅f(2n+2)(η)

低阶GL公式.

n=0n=0n=0 时，插值节点 x0=0x_0=0x0=0，勒让德多项式 P1(x)=xP_1(x)=xP1(x)=x，此时高斯勒让德公式：∫−11f(x)dx≈2f(0);A0=2\int_{-1}^1f(x)dx\approx2f(0);~A_0=2∫−11f(x)dx≈2f(0); A0=2
n=1n=1n=1 时，插值节点 x0=−13,x1=13x_0=-\frac1{\sqrt3},x_1=\frac1{\sqrt3}x0=−31,x1=31，勒让德多项式 P2(x)=12⋅(3x2−1)P_2(x)=\frac12·(3x^2-1)P2(x)=21⋅(3x2−1)，此时高斯勒让德公式：∫−11f(x)dx=f(13)+f(−13);A0=A1=1\int^1_{-1}f(x)dx=f(\frac1{\sqrt3})+f(-\frac1{\sqrt3});~A_0=A_1=1∫−11f(x)dx=f(31)+f(−31); A0=A1=1
对于积分区间一般化为 [a,b][a,b][a,b] 时，我们可以使用和函数最佳逼近中同样的策略，做代换x=a+b2+b−a2⋅tx=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2·tx=2a+b+2b−a⋅t从而将积分转化为区间 [−1,1][-1,1][−1,1] 上的积分。

切比雪夫公式.

取权函数 ρ(x)=11−x2\rho(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}ρ(x)=1−x21，积分区间为 [−1,1][-1,1][−1,1]，积分节点为切比雪夫多项式(第一类)的零点xk=cos(2k+12n+2π)x_k=cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi\right)xk=cos(2n+22k+1π)，相应地积分系数Ak=πn+1A_k=\frac{\pi}{n+1}Ak=n+1π，于是我们得到高斯切比雪夫公式：∫−111(1−x2)f(x)dx≈πn+1∑k=0nf(cos(2k+12n+2π))\int^1_{-1}\frac1{\sqrt(1-x^2)}f(x)dx\approx\frac{\pi}{n+1}\sum^n_{k=0}f\left(cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi\right)\right)∫−11(1−x2)1f(x)dx≈n+1πk=0∑nf(cos(2n+22k+1π))
其误差表示为R(f)=2π22n+2(2n+2)!f(2n+2)(η)R(f)=\frac{2\pi}{2^{2n+2}(2n+2)!}f^{(2n+2)(\eta)}R(f)=22n+2(2n+2)!2πf(2n+2)(η)

一叨.

在高斯型积分公式具有 2n+12n+12n+1 阶代数精度的定理中，要求 ωn+1(x)\omega_{n+1}(x)ωn+1(x) 与所有的不超过 nnn 次的多项式函数 q(x)q(x)q(x) 带权正交。而勒让德多项式作为一组正交基函数，Pi(x)∣i=0,1,...,nP_i(x)|i=0,1,...,nPi(x)∣i=0,1,...,n 可以通过线性组合得到所有不超过 nnn 次的多项式函数 q(x)q(x)q(x)，因此选用 Pn+1(x)P_{n+1}(x)Pn+1(x) 作为 ωn+1(x)\omega_{n+1}(x)ωn+1(x) 能够满足高斯型积分公式的要求。

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