斐波那契数列系列算法最优复杂度-------O（logN)

斐波那契数列系列算法最优复杂度——时间复杂度优化到O(LogN)

对于菲薄那契系列问题的探讨很多，下面就以两个例子来分析：

案例一：
在迷迷糊糊的大草原上，小红捡到了n根木棍，第i根木棍的长度为i，小红现在很开心。想选出其中的三根木棍组成美丽的三角形。但是小明想捉弄小红，想去掉一些木棍，使得小红任意选三根木棍都不能组成三角形。请问小明最少去掉多少根木棍呢？给定N，返回至少去掉多少根？
比如N=14.那么木棍的长度分别是1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
由于三角形条件必须满足两边之和大于第三边
所以我们只要保留木棍长度为 1 2 3 5 8 13的木棍。这些木棍任意组合都无法构成三角形
观察这个数列，就是满足F（n) = F(n-1)+F(n-2) 的公式，这就是纯粹的斐波那契数列问题
案例二（斐波那契相关的探讨，也可以优化到O（logN)：
一个农场，有一个母牛，农场通过生育技术人工授精让母牛只能生母牛而不让生公牛。母牛从第二年开始生母牛，对于新生的牛需要等过了三年才能生母牛
假设牛不会死，问n年后农场有多少只母牛？

第一年：母牛A 1只
第二年：母牛A生B 2只
第三年：母牛A生C，A，B 3只
第四年：母牛A生D，A,B,C 4只
第五年：母牛A生E,B生F，A,B,C,D 6只
第六年：母牛A生G,B生H，C生I，A,B,C,D,E,F 9只
上面的多少只的数量满足公式 F(N) = F(N-1)+F(N-3)

对于案例一无非就是求出斐波那契数列问题了：

相信大家都对斐波那契数列已经相当的熟悉了，最多两分钟就可以写出来以下时间复杂度为O(N)的代码：

//递归实现
long long fib(int n)
{if (n =1 || n== 2){return 1;}return (fib(n - 2) + fib(n - 1));
}

但是上面的实现的时间复杂度是O（N）面试的时候是没有分的，而我想说的是优化到O（logN)，那么下面就来探讨如何让时间复杂度到O（logN):
(由于编辑器实在难敲出数学特殊符号所以我拍成几张图片如下：）

下面就是实现代码：

    public static void main(String[] args) {System.out.println(fibonacci(5));System.out.println(fibonacci2(5));}/*** 普通解法时间复杂度O（N）* @param n* @return*/public static int fibonacci(int n) {if(n<1){return 0;}if(n==1|| n==2){return 1;}else{return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}}/*** 整个调用时间复杂度O（logN)* @param n* @return*/public static int fibonacci2(int n){if(n<1){return 0;}if(n==1 || n==2){return 1;}int[][] base = new int[][]{{1,1},{1,0}};int[][] res = marixPow(base,n-2);return res[0][0]+res[1][0];}private static int[][] marixPow(int[][] base, int n) {int[][] res = new int[base.length][base[0].length];for(int i=0;i<res.length;i++){res[i][i] = 1;//单位矩阵}int[][] t = base;for(;n!=0;n>>=1){if((n&1)!=0){//满足指数bit为为1情况res = multMaritx(res,t);}//基数矩阵在不断变化t = multMaritx(t,t);}return res;}/*** 虽然是三个for循环但是矩阵就是个2*2的大小有限。所以实际时间复杂度O(1)* @param t* @param t1* @return*/private static int[][] multMaritx(int[][] t, int[][] t1) {int[][] res = new int[t.length][t1[0].length];for(int i=0;i<t.length;i++){for(int j=0;j<t1[0].length;j++){for(int k=0;k<t1.length;k++){res[i][j] += t[i][k]*t1[k][j];}}}return res;}

下面来分析案例二：

由于案例二的公式是：F(N) = F(N-1)+F(N-3)
这是个3X3的矩阵，我们也可以通过带入前面几个值求出矩阵base来：

以下是案例二的实现代码最优解：O（logN):

/*** @author zhanglijie* @version 1.0* @since 1.1.0 2021/5/7 0007 20:54* 一个农场，有一个母牛，农场通过生育技术人工授精让母牛只能生母牛而不让生公牛。母牛从第二年开始生母牛，对于新生的牛需要等过了三年才能生母牛* 假设牛不会死，问n年后农场有多少只母牛？** 第一年 ：母牛A                                 1只* 第二年： 母牛A生B                              2只* 第三年： 母牛A生C，A，B                        3只* 第四年：母牛A生D，A,B,C                       4只* 第五年：母牛A生E,B生F，A,B,C,D                6只* 第六年：母牛A生G,B生H，C生I，A,B,C,D,E,F      9只*                                          13*                                          19*** 公式：F(N) = F(N-1)+F(N-3)**/
public class CowHowMany {public static void main(String[] args) {int year =8;int sum = getHowManyCow(year);System.out.println(sum);}private static int getHowManyCow(int year) {if(year<=3){return  year;}int[][] base = new int[][]{{1,1,0},{0,0,1},{1,0,0}};int[][]res = martixPow(base,year-3);return 3*res[0][0]+2*res[1][0]+1*res[2][0];}private static int[][] martixPow(int[][] base, int n) {int[][] res = new int[base.length][base[0].length];for(int i=0;i<res.length;i++){res[i][i] = 1;//单位矩阵}int[][] t = base;for(;n!=0;n>>=1){if((n&1)!=0){res = multMaritx(res,t);}t = multMaritx(t,t);}return res;}private static int[][] multMaritx(int[][] t, int[][] t1) {int[][] res = new int[t.length][t1[0].length];for(int i=0;i<t.length;i++){for(int j=0;j<t1[0].length;j++){for(int k=0;k<t1.length;k++){res[i][j] += t[i][k]*t1[k][j];}}}return res;}
}

有关斐波那契套路的算法很多很多，我们在刷leetcode的时候或者在面试笔试的时候都会见到，以上是我对其的总结。

斐波那契数列系列算法最优复杂度-------O（logN)相关推荐

JavaScript实现以数组形式返回斐波那契数列fibonacci算法（附完整源码）
JavaScript实现以数组形式返回斐波那契数列fibonacci算法(附完整源码) fibonacci.js完整源代码 fibonacci.js完整源代码 export default funct ...
【斐波那契数列】算法优化笔记
题目:斐波那契数列为:1,1,2,3,5,8-,求第n项? 初步分析设an为斐波那契数列. a1=a2=1;(n<=2) an=a(n-1) + a(n-2);(n>=2) 本章总结 [ ...
斐波那契数列简单算法
谈到斐波那契数列,可能是算法中经典的算法之一了.让我们先来看看斐波那契数列的由来: Fibonacci's original question: 1.Suppose that you are give ...
斐波那契数列python循环算法求解_斐波那契数列的算法实现 —— python
斐波那契数列,简单地说,起始两项为0和1,此后的项分别为它的前两项之后. (注:据我百度发现,斐波那契数列的定义并非起始的两项为0和1,而是1和1,鉴于是转发的,在这里不对原作者的文章进行改动,因为, ...
java斐波那契优化_用HashMap优化斐波那契数列 java算法
斐波那契是第一项为0,第二项为1,以后每一项是前面两项的和的数列. 源码:Fibonacci.java public class Fibonacci{ private static int times ...
斐波那契数列快速算法详解
1123581321递归算法java_斐波那契数列的算法
满意答案 wgeikq 2013.09.06 采纳率:53% 等级:13 已帮助:12456人 #include void Fdt(long F1,long F2,int N);//递推 voi ...
斐波拉契数列多种算法实现
# 1. while循环 def fib1(m):n,a,b = 0,0,1while n<m:print(a)a,b = b, a+bn+=1 print("1*********** ...
经典算法（6）斐波拉契数列、兔子繁殖、跳台阶算法
写在前面: 我是「扬帆向海」,这个昵称来源于我的名字以及女朋友的名字.我热爱技术.热爱开源.热爱编程.技术是开源的.知识是共享的. 这博客是对自己学习的一点点总结及记录,如果您对 Java.算法感兴 ...

斐波那契数列系列算法最优复杂度-------O（logN)

斐波那契数列系列算法最优复杂度——时间复杂度优化到O(LogN)

斐波那契数列系列算法最优复杂度-------O（logN)相关推荐

最新文章

热门文章