346. 走廊泼水节

给定一棵 N 个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式

第一行包含整数 t，表示共有 t 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 N。

接下来 N−1 行，每行三个整数 X,Y,Z，表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边，长度为 Z。

输出格式

每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤6000
1≤Z≤100

输入样例：

输出样例：

4
17

思路：

/*
做法：初始时先将每一个点看成一个大小为1的连通块，这个连通块就可以看成一个完全图(因为只有一个点)
做Kruskal算法，在每循环到一条可以合并两个连通块的边e时，记e的边长为w,为了形成一个完全图，就要使得两个已经是完全图的连通块中的点有边，但是为了使最后的唯一最小生成树还是原来那棵而且，新增的边一定要大于w：假设新边小于w，因为新增边后会成环，当断开边e，形成的树大小会变小，即不是原来那棵，所以不成立假设新边等于w，同样的断开e，会形成一个大小一样但结构不一样的树，不满足唯一，所以也不成立。所以只要在每次新增e的时候，给两个连通块内的点增加w+1长的边即可。证明：得出来的完全图中的最小生成树是原来那棵。(反证法)s
假设最后生成的完全同中的最小生成树不是原来那棵，在原树中，从小到大遍历n-1条边，找出第一条不在新最小生成树中的边，在新树中将它连上，会形成一个环，由之前加边时的操作可以知道，在这个环中一定存在一条长度大于它的边，断开这更大条，会形成一个更小的树，那就不是最小生成树，所以假设不成立。
*/

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6010;
int f[N], cnt[N];
int n, T;
int res;
struct Edge
{int a, b, w;bool operator<(const Edge &W) const{return w < W.w;}
} e[N];int find(int x)
{if (f[x] != x)f[x] = find(f[x]);return f[x];
}void merge(int a, int b, int c)
{int t1 = find(a);int t2 = find(b);if (t1 != t2) // 将两个集合合并为完全图{res += (cnt[t1] * cnt[t2] - 1) * (c + 1);f[t1] = t2;cnt[t2] += cnt[t1];}
}int main()
{cin >> T;while (T--){cin >> n;memset(f, 0, sizeof(f));memset(cnt, 0, sizeof(cnt));memset(e, 0, sizeof(e));res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = i;cnt[i] = 1;}for (int i = 0; i < n - 1; i++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;e[i] = {a, b, c};}sort(e, e + n - 1);for (int i = 0; i < n - 1; i++){merge(e[i].a, e[i].b, e[i].w);}cout << res << endl;}return 0;
}

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