【建模算法】熵权法（Python实现）

熵权法是通过寻找数据本身的规律来赋权重的一种方法。

熵是热力学单位，在数学中，信息熵表示事件所包含的信息量的期望。根据定义，对于某项指标，可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其熵值越小，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响（权重）越大。

熵本源于热力学，后由申农（C. E. Shannon）引入信息论，根据熵的定义与原理，当系统可能处于几种不同状态，每种状态出现的概率为pi(i=1,2,...,m)p_i(i=1,2,...,m)pi(i=1,2,...,m)，则该系统的熵就可定义
e=−1lnm∑i=1mpilnpi.e=-\frac{1}{lnm}\sum^m_{i=1}p_ilnp_i. e=−lnm1i=1∑mpilnpi.
熵权法是一种客观赋权方法。在具体使用过程中，熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，从而得出较为客观的指标权重。

一、问题描述

请根据下表给出的10个学生8门课的成绩，给出这10个学生评奖学金的评分排序。

表1：学生成绩表

二、熵权法的评价步骤

设有nnn个评价对象，mmm个评价指标变量，第iii个评价对象关于第jjj个指标变量的取值为aij(i=1,2,..,n;j=1,2,..,m)a_{ij}(i=1,2,..,n;j=1,2,..,m)aij(i=1,2,..,n;j=1,2,..,m)，构造数据矩阵A=(aij)n×mA=(a_{ij})_{n\times m}A=(aij)n×m。

基于熵权法的评价方法步骤如下：

(1)利用原始数据矩阵A=(aij)n×mA=(a_{ij})_{n\times m}A=(aij)n×m计算pij(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)p_{ij}(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)pij(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)，即第iii个评价对象关于第jjj个指标值的比重
Pij=aij∑i=1naij,i=1,2,...,n,j=1,2,...,mP_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum^n_{i=1}a_{ij}},i=1,2,...,n,j=1,2,...,m Pij=∑i=1naijaij,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
（2）计算第jjj项指标的熵值
ej=−1lnn∑i=11PijlnPij,j=1,2,...,me_j=-\frac{1}{lnn}\sum^{1}_{i=1}P_{ij}lnP_{ij},j=1,2,...,m ej=−lnn1i=1∑1PijlnPij,j=1,2,...,m
（3）计算第jjj项指标的变异系数
gj=1−ej,j=1,2,...,mg_j=1-e_j,j=1,2,...,m gj=1−ej,j=1,2,...,m
对于第jjj项指标，eje_jej越大，指标值的变异程度就越小。

（4）计算第jjj项指标的权重
wj=gj∑j=1mgj,j=1,2,...,mw_j=\frac{g_j}{\displaystyle \sum^m_{j=1}g_j},j=1,2,...,m wj=j=1∑mgjgj,j=1,2,...,m
（5）计算第iii个评价对象的综合评价值
Fi=∑j=1mwjpijF_i=\sum^m_{j=1}w_jp_{ij} Fi=j=1∑mwjpij
评价值越大越好。

三、求解结果

指标变量x1、x2、...、x8x_1、x_2、...、x_8x1、x2、...、x8分别表示学生的语文、数学、物理、化学、英语、政治、生物、历史成绩。用aija_{ij}aij表示第iii个学生关于指标变量xjx_jxj的取值，构造数据矩阵A=(aij)10×8A=(a_{ij})_{10\times 8}A=(aij)10×8。
利用Python程序，求得的各指标变量的权重值见表2，各个学生的综合评价值及排名次序见表3。各个学生评价值从高到低的次序为:
9 1 3 7 6 5 4 10 8 2.

表2:各指标的评价权重

表3 :学生的综合评价值及排名次序

运行结果：

四、实现代码

#完整代码：
import numpy as np
import pandas as pddata = pd.read_excel('stu_data.xlsx')  #读取原始数据
label_need=data.keys()[1:]
df=data[label_need]
a=np.array(df)
[n, m]=a.shape
cs=a.sum(axis=0)  #逐列求和
P=1/cs*a   #求特征比重矩阵
e=-(P*np.log(P)).sum(axis=0)/np.log(n)  #计算熵值
g=1-e   #计算差异系数
w = g / sum(g)  #计算权重
F = P @ w       #计算各对象的评价值
print("\nP={}\ne={}\ng={}\nw={}\nF={}".format(P,e,g,w,F))
print('各个学生评价值从高到低的次序为:')
print(np.argsort(-F)+1)