如何等概率地从n个数中随机抽出m个数？

题目：

如何等概率地从n个数中随机抽出m个数？

上题中如果n的大小不确定（可以认为是⼀个数据流），如何做？

方法：

蓄水池抽样

具体方法：我们先选取前m个数放入池中，然后我们每次以m/k的概率选择第k(k>m)个数a[k]，然后再在蓄水池中随机选取一个元素a[j],交换a[k]和a[j];

Init : a reservoir with the size： m  for    i= m+1 to N    j=random(1, i);    if( j < m)    SWAP the jth value and ith value    end for

假设当前是i+1, 按照我们的规定，i+1这个元素被选中的概率是m/(i+1)，也即第 i+1 这个元素在蓄水池中出现的概率是m/(i+1)
此时考虑前i个元素，如果前i个元素出现在蓄水池中的概率都是m/(i+1)的话，说明我们的算法是没有问题的。

证明（归纳法）：
m < i <=N
1.当i=m+1的时候，蓄水池的容量为m，第m+1个元素被选择的概率明显为m/(m+1), 此时前m个元素出现在蓄水池的概率为 m/(m+1), 很明显结论成立。（因为第m+1个元素被选择的概率为m/(m+1),前m个元素有一个被选择到的概率是1/m,那么前m元素中的任意一个被替换掉的概率是m/(m+1) * 1/m= 1/(m+1),任意一个不被替换的概率是 1- 1/(m+1)=m/(m+1),即前m个元素任意一个还能出现在蓄水池的概率是m/(m+1)。）

2.假设当 j=i 的时候结论成立，此时以 m/i 的概率来选择第i个元素，前i-1个元素出现在蓄水池的概率都为m/i。
证明当j=i+1的情况：
即需要证明当以 m/(i+1) 的概率来选择第i+1个元素的时候，此时前i个元素任一个出现在蓄水池的概率都为m/(i+1)。
前i个元素出现在蓄水池的概率有2部分组成, ①在第i+1次选择前得出现在蓄水池中; ②得保证第i+1次选择的时候不被替换掉
①.由2知道在第i+1次选择前，任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为m/i
②.考虑被替换的概率：
首先第 i+1 个元素被选中概率为 m/(i+1)，其次是因为随机替换的池子中m个元素中任意一个，所以不幸被替换的概率是 1/m，故前i个元素(池中元素)中任一被替换的概率 = m/(i+1) * 1/m = 1/(i+1)，则池中元素没有被替换的概率为: 1 - 1/(i+1) = i/(i+1)
综合① ②,通过乘法规则 ① *②,
得到前i个元素出现在蓄水池的概率为 m/i * i/(i+1) = m/(i+1)
故证明成立

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