有符号数的表示法、加减法、补码

摘要：本文将会说明有符号数的表示方法，有符号数正负数之间的跳变，有符号负数的加减法，为什么采用补码等方面进行分析。

我是学过计算机原理的，也有有符号数和无符号数的概念，以及正码、反码、补码的概念。可是我今天在看C++primer

plus时仍然对讲解的有符号数之间的跳变搞蒙了。原因是我只是有了概念，当初学习没有深入的去问为什么计算机会这么处理有符号的数据。那么好吧，现在就得补回来。

有符号数

有符号数的概念当然就是，用一个比特表示正负了，很明显是这样，比如：+8为00001000，-8就是10001000(这里呢就用8位的长度表示数值)，可见在+8和-8的二进制有符号表示的时候差别就在首位字节，就是第一个比特了。这就是有符号数。

为什么要用有符号数？

我想应该是数学逻辑中就是有正负的，而计算机作为数据处理的工具当然要可以表示数据的正负，所以这是很显然的事情。

有符号数带来的问题

正负的表示问题我们是解决了，可是光表示了是不行的，我们的目的还是用来运算的。那么问题来了。

引入了一个符号位，其表示数值的范围是多少？

8位的数据的二进制范围是，00000000-11111111，即十进制的0-255,。有符号数的首位可是有含义的，所以二进制仍然是00000000-11111111，但是十进制的范围就成了，-128-+127，就是-128到+127，然而这是有问题的，什么问题？有没有想过0该这么表示，10000000(-0)还是00000000(+0)。这的确是个问题，如果有了正负0那么取值的范围很明显就是-127到+127了嘛，中间有两个正负0。当然严谨的计算机科学家是不允许的，所以只能有一个表示十进制的0，那就是00000000，可是10000000表示个啥？规定表示为-128，这样就解决了两个0的问题，而且取值的范围就是-128到+127。

有符号数之间的跳变？

什么事跳变，其实就是溢出，什么又是溢出，其实就是数值的超出了范围。举个例子，8位有符号数范围我们是知道了就是-128到+127，但是当我超出了+127时会怎样？看一下

+127

+ 1

------

=+128

十进制来看是这样的，但是+128已经超出了表示的范围了。那么跳变就出现了。通过二进制看一下

01111111(+127)

+00000001( +1)

----------------

=10000000(-128)

二进制相加的结果是10000000，从前面的定义我们知道它是-128。这就是溢出了，发生了跳变。在工程中我们一定要避免这种事情的，因为它不是我们期望的数值。所以搞清楚每个类型的取值的范围是必要的。

这种跳变我不知道工程中会不会用到，但是我是不想用到的，因为不符合常规逻辑。

有符号数的加法

前面也用到了有符号数的加法，在正数时，不超过+127范围时还是正常的，该是几就是几。超出就是负数了，那么我们讨论一下负数的加法。

先说-128吧。

(-128)

+ (+1)

---------

=-127

没毛病，十进制是这样的。二进制又是这么样的？

10000000(-128)

+00000001 (+1)

----------------

=10000001(-1)

以下是重点

结果怎么是这样呢？怎么会是-1而不是-127呢？跟我想的不一样，很不开心。可是不开心是没有用的，我们仍然要解决问题。怎么解决？

1、改变加法器。因为正数的加法器不适用于负数的加法运算。这是一个方案，可是这会导致正数和负数用了两个加法器，如果硬件做加法，那就会增加电路负担，有没有可以通过软件解决的？

2、改变表示方式。什么意思？就是说-128在计算机中并不是用10000000存储，而是其他的，怎么表示呢？把负数表示成什么0减去一个正数?试试看

-128为0-128，100000000(9位，理解为向第9位借了一位1)-10000000=11111111+00000001-10000000=100000000

-127为0-127,100000000(9位，理解为向第9位借了一位1)-01111111，即11111111+00000001-01111111=10000001

这样看起来真是是对的了！这样为什么是可以的？

1、两边是恒等式，因为两边都有向第9位借了1位，其实就是两边都加了一个数。即，

-128+1=-127可以表示为(256-128)+1=(256-127)，二进制表示为

[(11111111+00000001)-10000000]+00000001=[(11111111+00000001)-01111111]=10000001。

2、这样做其实是把有符号数转变成了无符号数的运算，即把-128转换为了无符号数10000000，注意这里其实并不是-128。我想表达的意思是在运算的时候不要把首位比特当做字符了。其实在转换的时候用到减法运算，这样的目的呢就是在数值上不区分正负，而在转换的运算符中考虑了。所以会是这样。

其实这个转换呢就是补码，这是我参考了别的博文，自己理解的补码的由来，很多教科书都会将到补码的计算公式，然而却并不去讲这个的由来，大多数学生也都是选择了死记硬背，先记住再说，然后就没有再说了，这样真的不好。

参考文献：