向上取整向下取整探讨

符号

向下取整符号：⌊x⌋⌊x⌋⌊x⌋，表示小于等于 xxx 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 ⌊xy⌋⌊\cfrac {x} {y}⌋⌊yx⌋。
向上取整符号：⌈x⌉⌈x⌉⌈x⌉，与向下取整符号相对，表示大于等于 xxx 的最小的整数。

向上取整

先放结论：左边式子表示aaa对b+1b+1b+1向上取整，右边是取整的算法

ceil(ab+1)ceil(\cfrac {a} {b+1})ceil(b+1a) = a+bb+1\cfrac {a+b} {b+1}b+1a+b

当aaa是b+1b+1b+1的整数倍数，a=k∗(b+1)a=k*(b+1)a=k∗(b+1)，可以得到左边=右边
- 左边ceil(ab+1)ceil(\cfrac {a} {b+1})ceil(b+1a) = ceil(k∗(b+1)b+1)ceil(\cfrac {k*(b+1)} { b+1})ceil(b+1k∗(b+1)) = ceil(k)ceil(k)ceil(k) = kkk
- 右边a+bb+1\cfrac {a+b} {b+1}b+1a+b = k∗(b+1)+bb+1\cfrac {k*(b+1)+b} {b+1}b+1k∗(b+1)+b = k+bb+1k+ \cfrac {b} {b+1}k+b+1b = k+0k+0k+0 = kkk
当aaa除以b+1b+1b+1还有余数，设余数为ccc, 即 a=k∗(b+1)+ca=k*(b+1)+ca=k∗(b+1)+c ,因为这里的ccc是余数，其范围是$ \sum_{1}^{(b+1)} c $
- 左边ceil(ab+1)ceil(\cfrac {a} {b+1})ceil(b+1a) = ceil(k∗(b+1)+cb+1)ceil(\cfrac {k*(b+1)+c} {b+1})ceil(b+1k∗(b+1)+c) =ceil(k+cb+1)ceil(k+\cfrac {c} {b+1})ceil(k+b+1c) =ceil(k+cb+1)ceil(k+\cfrac {c} {b+1})ceil(k+b+1c) = k+1k+1k+1
  - 因为这里的ceil(cb+1)ceil(\cfrac {c} {b+1})ceil(b+1c) 其中ccc比b+1b+1b+1小，向上取整的结果是1

上面两种情况下，都是左边=右边

还有一种等价的形式：

ceil(ab)ceil(\cfrac {a} {b})ceil(ba) = a+b−1b\cfrac {a+b-1} {b}ba+b−1 即⌈ab⌉⌈\cfrac {a} {b}⌉⌈ba⌉ = a+b−1b\cfrac {a+b-1} {b}ba+b−1

范围

x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1

⌈ab⌉≤a+b−1b⌈\cfrac {a} {b}⌉≤\cfrac {a+b-1} {b}⌈ba⌉≤ba+b−1

⌊ab⌋⌊\cfrac {a} {b}⌋⌊ba⌋≥a−(b−1)b\cfrac {a-(b-1)} {b}ba−(b−1)

实现

四舍五入:int(a+1.0b+0.5)int(\cfrac {a+1.0} {b}+0.5)int(ba+1.0+0.5)

应用

1904.你完成的完整对局数

class Solution {public int numberOfRounds(String startTime, String finishTime) {int s = transform(startTime), e = transform(finishTime);if (s > e) e += 24 * 60;//如果过了凌晨了，需要将e加1天的时间s = (s + 14) / 15;//上取整公式e /= 15;//下取整return s > e ? 0 : e - s;}private int transform(String s) {//转换当前的时间为分钟计String[] arr = s.split(":");int h = Integer.parseInt(arr[0]), m = Integer.parseInt(arr[1]);return h * 60 + m;}
}

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