四元数船舶领域(Quaternion ship domain, QSD)由确定的四个元素构成：
Rfore,Raft,Rstarb,RportR_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port}Rfore,Raft,Rstarb,Rport

RforeR_{fore}Rfore 和RaftR_{aft}Raft 为船前部和船尾部， RportR_{port}Rport 和 RstarbR_{starb}Rstarb 为船左舷和右舷。

QSDQSDQSD是由连接这四个元素和内部区域的闭合曲线定义的区域，可以描述如下：

QSD={(x,y)∣f(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(1)QSD =\lbrace(x,y)|f(x,y;Q)\leq 1, Q= \lbrace R_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port}\rbrace\rbrace \quad(1)QSD={(x,y)∣f(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(1)

其中 f()f()f() 是 QSD的QSD的QSD的边界，QQQ 是四元数。

由于多边形和椭圆形在以前的船域中经常使用。因此在不失普遍性的前提下，QSD的边界可以用多边形和椭圆两种形状表示。

根据 Eq.(1), QSDQSDQSD 的边界可以表示如下：

多边形：
QSDq={(x,y)∣fq(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(2)QSD_q =\lbrace(x,y)|f_q(x,y;Q)\leq 1, Q= \lbrace R_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port}\rbrace\rbrace \quad(2) QSDq={(x,y)∣fq(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(2)

椭圆形：
QSDce={(x,y)∣fce(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(3)QSD_{ce} =\lbrace(x,y)|f_{ce}(x,y;Q)\leq 1, Q= \lbrace R_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port}\rbrace\rbrace \quad(3) QSDce={(x,y)∣fce(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport}}(3)

其中边界函数 fqf_{q}fq 和 fcef_{ce}fce可以用下式表示：

fq(x,y;Q)=2x(1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft+2y(1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport(4)f_q(x,y;Q) = \frac{2x}{(1+sgn x)R_{fore} - (1-sgn x)R_{aft}} + \frac{2y}{(1+sgn y)R_{starb} - (1-sgn y)R_{port}}\quad(4)fq(x,y;Q)=(1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft2x+(1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport2y(4)

fce(x,y;Q)=(2x(1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft)2+(2y(1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport)2(5)f_{ce}(x,y;Q) = \left(\frac{2x}{(1+sgn x)R_{fore} - (1-sgn x)R_{aft}}\right)^2 + \left(\frac{2y}{(1+sgn y)R_{starb} - (1-sgn y)R_{port}}\right)^2 \quad(5)fce(x,y;Q)=((1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft2x)2+((1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport2y)2(5)

其中 sgnsgnsgn 是如numpy.sign类的符号函数：
sgn(x)={1x≥0−1,x<0(6)sgn(x) = \begin{cases} 1 & x \geq 0 \\ -1, & x < 0 \\ \end{cases} \quad(6) sgn(x)={1−1,x≥0x<0(6)

根据 Eq.(4)和(5)可以发现，QSDQSDQSD的边界形状可以用一个参数 kkk 控制，含有参数 kkk 的QSDQSDQSD可以写作如下：

QSDk={(x,y)∣fk(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport},k≥1}(7)QSD_k =\lbrace(x,y)|f_k(x,y;Q)\leq 1, Q= \lbrace R_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port}\rbrace, k\geq1 \rbrace \quad(7)QSDk={(x,y)∣fk(x,y;Q)≤1,Q={Rfore,Raft,Rstarb,Rport},k≥1}(7)

fk(x,y;Q)=(2x(1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft)k+(2y(1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport)k(8)f_{k}(x,y;Q) = \left(\frac{2x}{(1+sgn x)R_{fore} - (1-sgn x)R_{aft}}\right)^k + \left(\frac{2y}{(1+sgn y)R_{starb} - (1-sgn y)R_{port}}\right)^k \quad(8)fk(x,y;Q)=((1+sgnx)Rfore−(1−sgnx)Raft2x)k+((1+sgny)Rstarb−(1−sgny)Rport2y)k(8)

幂 kkk 决定了QSDQSDQSD的形状，而四元数Q(i.e.Rfore,Raft,Rstarb,Rport)Q(i.e. R_{fore},R_{aft},R_{starb},R_{port})Q(i.e.Rfore,Raft,Rstarb,Rport)标识了船域大小。
因此可以通过参数QQQ和kkk合理地对QSDQSDQSD建模。

Kijima[1]Kijima^{[1]}Kijima[1] 等人用阻塞区参数估计公式(Estimation formulae for parameters of the blocking area)估计 QQQ 的横向和纵向半径。可以用下式表示：

{Rfore=(1+1.34kAD2+(kDT/2)2)LRaft=(1+0.67kAD2+(kDT/2)2)LRstarb=(0.2+kDT)LRport=(0.2+0.75kDT)L(9)\begin{cases} R_{fore} = \left(1+1.34 \sqrt{k^2_{AD}+(k_{DT}/2)^2 } \right) L\\ R_{aft} = \left(1+0.67 \sqrt{k^2_{AD}+(k_{DT}/2)^2 } \right) L \\ R_{starb} = (0.2 + k_{DT})L \\ R_{port}= (0.2 + 0.75k_{DT})L\\ \end{cases} \quad(9) ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Rfore=(1+1.34kAD2+(kDT/2)2)LRaft=(1+0.67kAD2+(kDT/2)2)LRstarb=(0.2+kDT)LRport=(0.2+0.75kDT)L(9)

其中LLL是本船长度，kADk_{AD}kAD是进距距离(Advance)的增益,kDTk_{DT}kDT是旋回直径的增益。并且可以被定义为如下：

{kAD=AD/L=100.3591lg⁡Vo+0.0952kDT=DT/L=100.5441lg⁡Vo−0.0795(10)\begin{cases} k_{AD} = A_D/L = 10^{0.3591 \lg {V_{o} + 0.0952} }\\ k_{DT} = D_T/L = 10^{0.5441 \lg{ V_{o} - 0.0795}}\\ \end{cases} \quad(10) {kAD=AD/L=100.3591lgVo+0.0952kDT=DT/L=100.5441lgVo−0.0795(10)

其中VoV_oVo是本船速度，用节表示。

旋回初径 DTD_TDT：3~6倍船长

相对旋回初径 DT/LD_T/LDT/L

旋回直径 DDD: 旋回初径的 0.9~1.2倍

进距 ADA_DAD:旋回初径的 0.6~1.2倍

# Python 实现后续补充
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as pltL = 0.0863  # 以海里nm为单位 1节=1海里/小时=1.852公里/小时=0.514444m/s
DT = 5 * L # 相对旋回初径
D = 1.2 * DT # 旋回直径
AD = 1.2 * DT # 进距# 进距和旋回直径增益
def Gain_k(v):k_ad = 10**(0.3591*math.log10(v)+0.0952)k_dt = 10**(0.5441*math.log10(v)-0.0795)return k_ad, k_dt# 计算四元数
def Quaternion(k_ad,k_dt):r_fore = (1+1.34*math.sqrt(k_ad**2+(k_ad/2)**2))*Lr_aft = (1+0.67*math.sqrt(k_ad**2+(k_ad/2)**2))*Lr_starb = (0.2+k_dt)*Lr_port = (0.2+0.75*k_dt)*Lreturn r_fore, r_aft, r_starb, r_portv = 20k_ad, k_dt = Gain_k(v)
r_fore, r_aft, r_starb, r_port = Quaternion(k_ad,k_dt)Q = [r_fore, r_aft, r_starb, r_port]x = [[0,r_starb],[r_starb,0],[0,-r_port],[-r_port,0]]
y = [[r_fore,0],[0,-r_aft],[-r_aft,0],[0,r_fore]]plt.figure(dpi=128)
plt.plot(x,y,color = 'r')
plt.scatter(0,0,marker='*')
plt.grid(True)
plt.grid(color='black', linestyle='--',linewidth=0.3,alpha=0.3)
plt.xlabel('x(n mile)')
plt.ylabel('y(n mile)')
plt.xlim(-1,1)
plt.ylim(-1,1)
plt.show()

Refer

ence
[1]: Kijima, K. and Furukawa, Y. (2003). Automatic collision avoidance system using the concept of blocking area. Proceeding of IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft, Girona, Spain.
[2]: Wang N. An intelligent spatial collision risk based on the quaternion ship domain[J]. The Journal of Navigation, 2010, 63(4): 733.

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