RLS算法到卡尔曼滤波 II

接着上一篇文章：https://blog.csdn.net/ZLH_HHHH/article/details/90515377

卡尔曼滤波在原本的RLSRLSRLS基础上增加了一个线性系统。
卡尔曼滤波应用于下面的系统：
(1)x(k)=F(k−1)x(k−1)+G(k−1)u(k−1)+w(k−1)x(k)=F(k-1)x(k-1)+G(k-1)u(k-1)+w(k-1)\tag{1}x(k)=F(k−1)x(k−1)+G(k−1)u(k−1)+w(k−1)(1)
(2)y(k)=h(k)x(k)+v(k)y(k)=h(k)x(k)+v(k)\tag{2}y(k)=h(k)x(k)+v(k)(2)

其中w,vw,vw,v是零均值,不相关白噪音。即协方差为000.
这里，xxx 就是当前系统的状态，比如速度，位置，温度，等等。
(1)(1)(1)式可以理解为，上一个时刻，系统的一个输入，对系统产生的影响。系统的状态改变。比如突然有外力做工，从新更新状态。但是这个更新是有误差的。
(2)(2)(2)式子，可以认为是测量，h(k)h(k)h(k)对应的在x(k)x(k)x(k)状态下的输出y(k)y(k)y(k)被我们测量出来，有一个不可观测的随机误差v(k)v(k)v(k)，h,yh,yh,y都是已知的。

经过(1)(1)(1)的计算，对xxx状态进行了一次转移。并被(2)(2)(2)式纠正。

动态的系统，之前的RLSRLSRLS已经不再适用,x(k−1)x(k-1)x(k−1)的状态在不停改变的。或者说需要修改RLSRLSRLS算法。

RLSRLSRLS算法关键的一点就是：
P(k)=(HT(k)H(k))−=E((x^(k)−x(k))(x^(k)−x(k))T)P(k)=(H^T(k)H(k))^-=E\Big((\hat x(k) - x(k))(\hat x(k) - x(k))^T\Big)P(k)=(HT(k)H(k))−=E((x^(k)−x(k))(x^(k)−x(k))T)
即，P(k)P(k)P(k)是估计x^\hat xx^的协方差。而协防差在(1)(1)(1)式状态改变的过程中也被传递了。
这里，由于误差是无偏的，一般认为E(x^)=xE(\hat x)=xE(x^)=x
这也就是说：
E(F(k−1)x^(k−1)+G(k−1)u(k−1)+w(k−1))=F(k−1)x(k−1)+G(k−1)u(k−1)=x(k)=E(x^(k))E\Big(F(k-1)\hat x(k-1)+G(k-1)u(k-1)+w(k-1)\Big)\\=F(k-1)x(k-1)+G(k-1)u(k-1)=x(k)=E(\hat x(k))E(F(k−1)x^(k−1)+G(k−1)u(k−1)+w(k−1))=F(k−1)x(k−1)+G(k−1)u(k−1)=x(k)=E(x^(k))

则：E(x^(k)−x(k))=F(k−1)E(x^(k−1)−x(k−1))+E(w(k−1))E(\hat x(k)-x(k))=F(k-1)E(\hat x(k-1)-x(k-1))+E(w(k-1))E(x^(k)−x(k))=F(k−1)E(x^(k−1)−x(k−1))+E(w(k−1))

那么我们可以根据k−1k-1k−1时刻以及此时状态转移来估计新的协方差：
P(k)=E((x^(k)−x(k)(x^(k)−x(k)T)=E([F(k−1)(x^(k−1)−x(k−1))+w(k−1)][F(k−1)(x^(k−1)−x(k−1))+w(k−1)]T)=F(k−1)P(k−1)FT(k−1)+Q(k−1)P(k)=E\Big((\hat x(k)-x(k)(\hat x(k)-x(k)^T\Big)\\ =E\Big ([F(k-1)(\hat x(k-1)-x(k-1))+w(k-1)][F(k-1)(\hat x(k-1)-x(k-1))+w(k-1)]^T\Big)\\ =F(k-1)P(k-1)F^T(k-1)+Q(k-1)P(k)=E((x^(k)−x(k)(x^(k)−x(k)T)=E([F(k−1)(x^(k−1)−x(k−1))+w(k−1)][F(k−1)(x^(k−1)−x(k−1))+w(k−1)]T)=F(k−1)P(k−1)FT(k−1)+Q(k−1)
其中:Q(k)=E(w(k)wT(k))Q(k)=E(w(k)w^T(k))Q(k)=E(w(k)wT(k))

当我们没有新的观测数据时，利用旧的观测来做一个先验估计 x(k)−x(k)^-x(k)−
而通过新的观测纠正后的数据为后验：x(k)+x(k)^+x(k)+
结合RLSRLSRLS, 得出卡尔曼滤波：
x(k)−=F(k−1)x(k−1)++G(k−1)u(k−1)P(k)−=F(k−1)P(k−1)+FT(k−1)+Q(k−1)x(k)^-=F(k-1)x(k-1)^++G(k-1)u(k-1)\\ P(k)^-=F(k-1)P(k-1)^+F^T(k-1)+Q(k-1)x(k)−=F(k−1)x(k−1)++G(k−1)u(k−1)P(k)−=F(k−1)P(k−1)+FT(k−1)+Q(k−1)
(RLS)K(k)=P(k)−hT(k)R(k)+h(k)P(k)−hT(k)K(k)=\frac{P(k)^-h^T(k)}{R(k)+h(k)P(k)^-h^T(k)}\tag{RLS}K(k)=R(k)+h(k)P(k)−hT(k)P(k)−hT(k)(RLS)
(RLS)P(k)+=(I−K(k)h(k))P(k)−P(k)^+=(I-K(k)h(k))P(k)^-\tag{RLS}P(k)+=(I−K(k)h(k))P(k)−(RLS)
(RLS)x^(k)+=x^(k)−+K(k)(y(k)−h(k)x^(k)−)\hat x(k)^+ =\hat x(k)^-+K(k)\Big(y(k)-h(k)\hat x(k)^-\Big) \tag{RLS}x^(k)+=x^(k)−+K(k)(y(k)−h(k)x^(k)−)(RLS)

卡尔曼滤波其实就是通过系统状态转移，跟踪了协方差的状态转移。然后从新带入到RLSRLSRLS更新中.

最关键的还是P(k)P(k)P(k)的属性:
P(k)=(HT(k)H(k))−=E((x^−x)(x^−x)T)P(k)=\Big(H^T(k)H(k)\Big)^-=E((\hat x -x)(\hat x - x)^T)P(k)=(HT(k)H(k))−=E((x^−x)(x^−x)T)
PPP的这一属性使得参考系改变时得以根据状态转移矩阵同时被转移。
怎么说呢，比如，两架飞机，A,BA,BA,B,当AAA匀加速速运动时，观察到匀加速运动的BBB。
当AAA在处理上一时刻状态时，其实自身的状态，也改变了，速度啊，速率，位置什么的，都改变。这个时候使用(1)(1)(1)式，进行状态转移，由于PPP的关键属性,即使HTHH^THHTH的逆，又是xxx的协方差。如此甚好。对PPP进行一次状态转移。这次转移，是为了使用新的观测数据。来调用RLSRLSRLS的三段更新。

到这里，对卡尔曼滤波有了一个浅显的认识，嘿嘿。

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