SRM 683 div1 hard

题目大意

一开始有个人在 (x0,y0) (x_0,y_0)，有 t t个时间点，每个时间点这个人会上下左右四个方向随机选一个方向走。给定n,mn,m，最后假如这个人停在了 (x,y) (x,y)，他的权值 v=xnym v = x^ny^m。问 (E[v]×4t)mod109+7 (E[v]\times 4^t) \bmod{10^9+7}。

n,m≤100,t≤109 n,m \leq 100,t \leq 10^9

题解

将点的坐标变成 (a+b2,a−b2) (\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})的形式，那么每一步，相当于变成 a a可以+1,−1+1,-1， b b可以+1,−1+1,-1并且两者独立了。那么我们相当于要求：

E[(a+b2)n×(a−b2)m]=∑i=0n∑j=0m(ni)(mj)E[(a2)i+j×(b2)n−i×(−b2)m−j]=∑i=0n∑j=0m(ni)(mj)E[(a2)i+j]×E[(b2)n−i]×E[(−b2)m−j]

\begin{aligned} &E\left[\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \times \left(\frac{a-b}{2}\right)^m \right] \\ &=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{j}E\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{i+j}\times \left(\frac{b}{2}\right)^{n-i} \times \left(-\frac{b}{2}\right)^{m-j}\right] \\ &= \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{j}E\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{i+j}\right] \times E\left[\left(\frac{b}{2}\right)^{n-i}\right] \times E\left[\left(-\frac{b}{2}\right)^{m-j}\right] \end{aligned}
剩下来的问题就是怎么求 E[ak] E\left[a^k\right]，其中 a a表示最后的坐标对应的aa。
设 Tj,k T_{j,k}表示当前走了 j j步，aka^k的期望是多少。那么有

Tj,k=∑kp=0(kp)Tj−1,p+∑kp=0(kp)Tj−1,p(−1)k−p2

T_{j,k} = \frac{\sum_{p=0}^k \binom{k}{p}T_{j-1,p} + \sum_{p=0}^k \binom{k}{p} T_{j-1,p}(-1)^{k-p}}{2}

Tj,k=∑p=0,(k−p)mod2=0k(kp)Tj−1,p

T_{j,k} = \sum_{p=0,(k-p) \bmod{2} = 0}^k \binom{k}{p}T_{j-1,p}
这个由于 n+m≤200 n+m \leq 200，因此可以直接矩阵乘法搞。

那么整道题的复杂度就是 O((n+m)3logt) O((n+m)^3 \log t)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 205,mo = int(1e9) + 7;typedef int matrix[maxn][maxn];class RandomWalkOnGrid
{
public:matrix trans,mat_a,mat_b;int c[maxn][maxn],__n;int pow(int a,int b){int tmp = 1;for(;b;b >>= 1,a = a * 1ll * a % mo)if (b & 1) tmp = tmp * 1ll * a % mo;return tmp;}void mul(matrix &a,matrix &b,matrix &c){static matrix t;memset(t,0,sizeof t);for(int i = 0;i <= __n;i ++)for(int k = 0;k <= __n;k ++)if (a[i][k])for(int j = 0;j <= __n;j ++)if (b[k][j])t[i][j] = (t[i][j] + a[i][k] * 1ll * b[k][j]) % mo;memcpy(c,t,sizeof c);}void pow(matrix &a,int b){matrix tmp;memset(tmp,0,sizeof tmp);for(int i = 0;i <= __n;i ++) tmp[i][i] = 1;for(;b;b >>= 1,mul(a,a,a))if (b & 1) mul(tmp,a,tmp);memcpy(a,tmp,sizeof a);}int rev(int a){return pow(a,mo - 2);}int getExpectation(int x0,int y0,int t,int n,int m){__n = n + m;for(int i = 1;i <= __n;i ++) c[i][0] = c[0][i] = 1;for(int i = 1;i <= __n;i ++)for(int j = 1;j <= i;j ++)c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mo;c[0][0] = 1;for(int k = 0;k <= __n;k ++)for(int p = 0;p <= k;p ++)if ((k - p) % 2 == 0) trans[p][k] = 2ll * c[k][p] % mo;pow(trans,t);int ans = 0,a = ((x0 + y0) % mo + mo) % mo,b = ((x0 - y0) % mo + mo) % mo;for(int i = 0;i <= __n;i ++) mat_a[0][i] = pow(a,i),mat_b[0][i] = pow(b,i);mul(mat_a,trans,mat_a),mul(mat_b,trans,mat_b);for(int i = 0;i <= n;i ++)for(int j = 0;j <= m;j ++){int cur = mat_a[0][i + j] * 1ll * mat_b[0][n - i + m - j] % mo;if ((m - j) & 1) cur = (mo - cur) % mo;cur = cur * 1ll * rev(pow(2,n + m)) % mo;ans = (ans + cur * 1ll * c[n][i] % mo * c[m][j] % mo) % mo;}return ans;}
};

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