5 留数
- 5.1 孤立奇点的分类及其性质
- 5.2 留数定理
- 5.3 留数定理计算定积分

5 留数

5.1 孤立奇点的分类及其性质

孤立奇点的分类

如果函数 f(z)f(z)f(z) 虽然在 z0z_0z0 不解析，但在 z0z_0z0 的某一个去心邻域 {0<∣z−z0∣<δ}\{0 < |z − z_0| < \delta\}{0<∣z−z0∣<δ} 内处处解析，则 z0z_0z0 称为 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点。

如果 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点，则在 z0z_0z0 的某个去心邻域 {z;0<∣z−z0∣<δ}\{z;0<|z-z_0|<\delta\}{z;0<∣z−z0∣<δ} 内，f(z)f(z)f(z) 可以展开成洛朗级数
f(z)=∑n=−∞+∞Cn(z−z0)n=∑n=−∞−1Cn(z−z0)n+∑n=0+∞Cn(z−z0)nf(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n=\sum_{n=-\infty}^{-1}C_n(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n f(z)=n=−∞∑+∞Cn(z−z0)n=n=−∞∑−1Cn(z−z0)n+n=0∑+∞Cn(z−z0)n
有以下三种情况：

(1) f(z)f(z)f(z) 的洛朗级数的主部为零，此时称 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点。

lim⁡z→z0f(z)=C0\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=C_0z→z0limf(z)=C0

(2) f(z)f(z)f(z) 的洛朗级数的主部只有有限项，且其中关于 (z−z0)−1(z-z_0)^{-1}(z−z0)−1 的最高幂次为 mmm ，即
f(z)=C−m(z−z0)−m+...+C−1(z−z0)−1+∑n=0+∞Cn(z−z0)nf(z)=C_{-m}(z-z_0)^{-m}+...+C_{-1}(z-z_0)^{-1}+\sum_{n=0}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n f(z)=C−m(z−z0)−m+...+C−1(z−z0)−1+n=0∑+∞Cn(z−z0)n
m≥1,C−m≠0m\geq1\ , \ C_{-m}\neq0m≥1 , C−m=0 ，此时称 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的 mmm 级奇点。

lim⁡z→z0f(z)=∞\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=\inftyz→z0limf(z)=∞
f(z)f(z)f(z) 可以写成

f(z)=g(z)(z−z0)m=∑n=0∞Cn−m(z−z0)n(z−z0)mf(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m}=\frac{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty C_{n-m}(z-z_0)^n}{(z-z_0)^m} f(z)=(z−z0)mg(z)=(z−z0)mn=0∑∞Cn−m(z−z0)n

其中 g(z)g(z)g(z) 在 ∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta∣z−z0∣<δ 内是解析函数，且 g(z0)≠0g(z_0)\neq0g(z0)=0

(3) f(z)f(z)f(z) 的洛朗级数的主部有无穷多项，此时称 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的本性奇点。

lim⁡z→z0f(z)\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)z→z0limf(z) 不存在（不是 ∞\infty∞ ）

一个总结：我们可以利用复变函数极限的不同情形来判别孤立奇点的类型。

如果 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点 ⟺\boldsymbol{\iff}⟺ lim⁡z→z0f(z)\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)z→z0limf(z) 存在且有限

如果 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的极点 ⟺\boldsymbol{\iff}⟺ lim⁡z→z0f(z)=∞\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=\inftyz→z0limf(z)=∞

如果 z0z_0z0 为 f(z)f(z)f(z) 的本性奇点 ⟺\boldsymbol{\iff}⟺ lim⁡z→z0f(z)\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)z→z0limf(z) 不存在

可去奇点的性质

定理：z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点，则下面的结论等价：

z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点；
lim⁡z→z0f(z)\displaystyle\lim_{z\to z_0} f(z)z→z0limf(z) 存在且不等于 ∞\infty∞ ；
f(z)f(z)f(z) 在 z0z_0z0 的一个邻域内有界；
lim⁡z→z0f(z)(z−z0)=0\displaystyle\lim_{z\to z_0} f(z)(z − z_0) = 0z→z0limf(z)(z−z0)=0 .

极点的性质

定理：z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的 mmm 级极点的充要条件为： f(z)f(z)f(z) 可表为 f(z)=(z−z0)−mψ(z)f(z)=(z-z_0)^{-m}\psi(z)f(z)=(z−z0)−mψ(z) ，其中 ψ(z)\psi(z)ψ(z) 在 z0z_0z0 处解析且 ψ(z0)≠0\psi(z_0)\neq 0ψ(z0)=0 .

定理：z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的 mmm 级极点的充要条件为： z0z_0z0 是函数 1f(z)\displaystyle\frac{1}{f(z)}f(z)1 的 mmm 级零点。

定理：z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的 mmm 级极点的充要条件为： lim⁡z→z0f(z)=∞\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=\inftyz→z0limf(z)=∞ .

在复平面上除了极点外没有其他类型奇点的单值解析函数，称为亚纯函数。

一个结论：

对于形如 f(z)=h(z)g(z)f(z)=\displaystyle\frac{h(z)}{g(z)}f(z)=g(z)h(z) 的函数，如果 h(z)h(z)h(z) 和 g(z)g(z)g(z) 均在 z0z_0z0 处解析，且 z0z_0z0 分别是 h(z)h(z)h(z) 和 g(z)g(z)g(z) 的 mmm 和 nnn 级零点，则

当 m≥nm\geq nm≥n 时， z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点；

当 m<nm<nm<n 时， z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的 n−mn-mn−m 级奇点；

本性奇点的性质

定理：z0z_0z0 是函数 f(z)f(z)f(z) 的本性奇点的充分必要条件为：⟺\boldsymbol{\iff}⟺ lim⁡z→z0f(z)\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)z→z0limf(z) 不存在.

解析函数在无穷远点的形态

如果函数 f(z)f(z)f(z) 在无穷远点 z=∞z = \inftyz=∞ 的去心邻域内解析，称无穷远点为 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点。

z=∞z = \inftyz=∞ 是否 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点、极点或本性奇点，完全看极限 lim⁡z→∞f(z)\displaystyle\lim_{z\to \infty}f(z)z→∞limf(z) 是否是有限值、无穷大或不存在。

5.2 留数定理

留数：设 z0z_0z0 是函数 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点，f(z)f(z)f(z) 在 z0z_0z0 的去心邻域 {z;0<∣z−z0∣<ρ}\{z;0<|z-z_0|<\rho\}{z;0<∣z−z0∣<ρ} 内及边界 CρC_\rhoCρ 解析，在该去心邻域内对 f(z)f(z)f(z) 作洛朗展开,则称 C−1C_{−1}C−1 为 f(z)f(z)f(z) 在 z0z_0z0 的留数
Res[f(z),z0]=C−1=12πi∮Cρf(z)dz{\rm Res}[f(z),\,z_0]=C_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_\rho}f(z)dz Res[f(z),z0]=C−1=2πi1∮Cρf(z)dz
留数定理：设函数 f(z)f(z)f(z) 在区域 DDD 内除有限个孤立奇点 z1,z2,...,znz_1, z_2,..., z_nz1,z2,...,zn 外处处解析，CCC 是 DDD 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则
∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),zk]\oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n{\rm Res}[f(z),\,z_k] ∮Cf(z)dz=2πik=1∑nRes[f(z),zk]
留数的计算规则

基本思想：

如果 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点，Res[f(z),z0]=0{\rm Res}[f(z),\,z_0] = 0Res[f(z),z0]=0 ；

如果 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的本性奇点，只好作完整的洛朗展开；

如果 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的极点，有一些便于操作的规则。

(1) 如果 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的 mmm 级极点，
Res[f(z),z0]=1(m−1)!lim⁡z→z0dm−1dzm−1[(z−z0)mf(z)]{\rm Res}[f(z),\,z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] Res[f(z),z0]=(m−1)!1z→z0limdzm−1dm−1[(z−z0)mf(z)]
特殊情况：m=1m=1m=1
Res[f(z),z0]=lim⁡z→z0(z−z0)f(z){\rm Res}[f(z),\,z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) Res[f(z),z0]=z→z0lim(z−z0)f(z)
(2) 若 f(z)=ψ(z)(z−z0)mf(z)=\displaystyle\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m}f(z)=(z−z0)mψ(z) ，其中 ψ(z)\psi(z)ψ(z) 在 z0z_0z0 点解析，且 ψ(z0)≠=,m≥1\psi(z_0)\neq=,\ m\geq 1ψ(z0)==, m≥1 ，则
Res[f(z),z0]=Res[ψ(z)(z−z0)m,z0]=ψ(m−1)(z0)(m−1)!{\rm Res}[f(z),\,z_0]={\rm Res}[\displaystyle\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m},\,z_0]=\frac{\psi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!} Res[f(z),z0]=Res[(z−z0)mψ(z),z0]=(m−1)!ψ(m−1)(z0)
(3) 若 f(z)=P(z)Q(z)f(z)=\displaystyle\frac{P(z)}{Q(z)}f(z)=Q(z)P(z) ，其中 P(z)P(z)P(z) 与 Q(z)Q(z)Q(z) 在 z0z_0z0 点解析，且 P(z0)≠0,Q(z0)=0P(z_0)\neq0\,,\, Q(z_0)=0P(z0)=0,Q(z0)=0 ，而 Q′(z0)≠0Q'(z_0)\neq0Q′(z0)=0 ，则 z0z_0z0 是 f(z)f(z)f(z) 的一级极点，且
Res[f(z),z0]=P(z0)Q′(z0){\rm Res}[f(z),\,z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} Res[f(z),z0]=Q′(z0)P(z0)
(4) 如果 z0z_0z0 是 g(z)g(z)g(z) 的 k(k≥1)k\ (k\geq1)k (k≥1) 级零点，是 h(z)h(z)h(z) 的 k+1k+1k+1 级零点，则 z0z_0z0 是 f(z)=g(z)h(z)f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}f(z)=h(z)g(z) 的单极点，且
Res[f(z),z0]=(k+1)g(k)(z0)h(k+1)(z0){\rm Res}[f(z),\,z_0]=(k+1)\frac{g^{(k)}(z_0)}{h^{(k+1)}(z_0)} Res[f(z),z0]=(k+1)h(k+1)(z0)g(k)(z0)
(5) 设 g(z)g(z)g(z) 和 h(z)h(z)h(z) 在 z0z_0z0 点解析，且 g(z0)≠0,h(z0)=h′(z0)=0,h′′(z0)≠0g(z_0)\neq0,\ h(z_0)=h'(z_0)=0,\ h''(z_0)\neq0g(z0)=0, h(z0)=h′(z0)=0, h′′(z0)=0 ，则 z0z_0z0 是 f(z)=g(z)h(z)f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}f(z)=h(z)g(z) 的二级极点，且
Res[f(z),z0]=2g′(z0)h′′(z0)−23g(z0)h′′′(z0)[h′′(z0)]2{\rm Res}[f(z),\,z_0]=2\frac{g'(z_0)}{h''(z_0)}-\frac{2}{3}\frac{g(z_0)h'''(z_0)}{[h''(z_0)]^2} Res[f(z),z0]=2h′′(z0)g′(z0)−32[h′′(z0)]2g(z0)h′′′(z0)
无穷远点的留数

设函数 f(z)f(z)f(z) 在圆环域 R<∣z∣<∞R<|z|<\inftyR<∣z∣<∞ 内解析， CCC 为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分 ∮C−f(z)dz\displaystyle\oint_{C^{-}}f(z)dz∮C−f(z)dz 的值与 CCC 无关，称其为 f(z)f(z)f(z) 在无穷远点的留数，记作
Res[f(z),∞]=12πi∮C−f(z)dz=−C−1{\rm Res}[f(z),\,\infty]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz=-C_{-1} Res[f(z),∞]=2πi1∮C−f(z)dz=−C−1
C−C^−C− 理解为圆环域内绕 ∞\infty∞ 的任何一条负向简单闭曲线。

注：当 ∞\infty∞ 为可去奇点时，Res[f(z),∞]{\rm Res}[f(z),\,\infty]Res[f(z),∞] 不一定为 000 。

反例：11−z\displaystyle\frac{1}{1-z}1−z1

定理：如果 f(z)f(z)f(z) 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则 f(z)f(z)f(z) 在各奇点（包括 ∞\infty∞ 点）的留数总和必等于零。

无穷远点的留数计算规则
Res[f(z),∞]=−Res[1z2f(1z),0]{\rm Res}[f(z),\,\infty]=-{\rm Res}[\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z}),\,0] Res[f(z),∞]=−Res[z21f(z1),0]

5.3 留数定理计算定积分

留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将
实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。在定积分的计算中，则需要定积分变为回路积分中的一部分。

对于实积分 ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)dx∫abf(x)dx ，变量 xxx 定义在闭区间 [a,b][a,\,b][a,b] ，此区间可作为回路 l=l1+l2l = l_1 + l_2l=l1+l2 的一部分。将实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分；或者也可以利用变量变换完成。

(1) 形如 ∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ\displaystyle\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\,\sin\theta)d\theta∫02πR(cosθ,sinθ)dθ 的积分，其中 RRR 为有理函数，且在 [0,2π][0,\,2\pi][0,2π] 上连续。

令 z=eiθz=e^{i\theta}z=eiθ ，则 dz=ieiθdθ⟺dθ=dzizdz=ie^{i\theta}d\theta\,\boldsymbol{\iff}\,d\theta=\displaystyle\frac{dz}{iz}dz=ieiθdθ⟺dθ=izdz ，

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i=z2−12iz\sin\theta=\displaystyle\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\displaystyle\frac{z^2-1}{2iz}sinθ=2ieiθ−e−iθ=2izz2−1 ， cos⁡θ=eiθ+e−iθ2=z2+12z\cos\theta=\displaystyle\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\displaystyle\frac{z^2+1}{2z}cosθ=2eiθ+e−iθ=2zz2+1

从而积分化为沿正向单位圆周的积分
∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ=∮∣z∣=1R[z2+12z,z2−12iz]dziz≜∮∣z∣=1f(z)dz\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\,\sin\theta)d\theta=\oint_{|z|=1}R\left[\frac{z^2+1}{2z},\,\frac{z^2-1}{2iz}\right]\frac{dz}{iz}\triangleq \oint_{|z|=1}f(z)dz ∫02πR(cosθ,sinθ)dθ=∮∣z∣=1R[2zz2+1,2izz2−1]izdz≜∮∣z∣=1f(z)dz
因为 RRR 在求积区间内分母不为零，因此 f(z)f(z)f(z) 是 zzz 的有理函数且在单位圆周 ∣z∣=1|z| = 1∣z∣=1 上分母不为零。

由留数定理，
∮∣z∣=1f(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),zk]\oint_{|z|=1}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n {\rm Res}[f(z),\,z_k] ∮∣z∣=1f(z)dz=2πik=1∑nRes[f(z),zk]
其中 z+k,k=1,2,...,nz+k,\, k=1,2,...,nz+k,k=1,2,...,n 为单位圆内的 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点。

(2) 形如 ∫−∞∞R(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^\infty R(x)dx∫−∞∞R(x)dx 的积分，其中 R(x)R(x)R(x) 是 xxx 的有理函数，且分母的次数比分子的次数至少高 222 次，且 R(x)R(x)R(x) 在实轴上没有孤立奇点时，积分是存在的。

取积分路线如图所示, 其中 CrC_rCr 是以原点为中心，rrr 为半径的上半圆周。取 rrr 适当大，使 R(z)R(z)R(z) 所有的在上半平面内的极点 zkz_kzk 都包在这积分路线内。对于这样的被积函数和积分路径，由留数定理
∫−rrR(x)dx+∫CrR(z)dz=2πi∑kRes[R(z),zk]\int_{-r}^rR(x)dx+\int_{C_r}R(z)dz=2\pi i \sum_{k}{\rm Res}[R(z),\,z_k] ∫−rrR(x)dx+∫CrR(z)dz=2πik∑Res[R(z),zk]
由于分母的次数比分子的次数至少高 222 次，故对于充分大的 ∣z∣|z|∣z∣ ，有 ∣R(z)∣≤M∣z∣2|R(z)|\leq\displaystyle\frac{M}{|z|^2}∣R(z)∣≤∣z∣2M ，

令 r→∞r\to\inftyr→∞ ，
∣∫CrR(z)dz∣≤∫Cr∣R(z)∣ds≤Mr2πr→0\bigg|\displaystyle\int_{C_r}R(z)dz\bigg|\leq\displaystyle\int_{C_r}|R(z)|ds\leq\displaystyle\frac{M}{r^2}\pi r\to 0 ∣∣∣∣∫CrR(z)dz∣∣∣∣≤∫Cr∣R(z)∣ds≤r2Mπr→0
因此
∫−∞∞R(x)dx=2πi∑kRes[R(z),zk]\int_{-\infty}^\infty R(x)dx=2\pi i \sum_{k}{\rm Res}[R(z),\,z_k] ∫−∞∞R(x)dx=2πik∑Res[R(z),zk]

如果 R(x)R(x)R(x) 是偶函数
∫0∞R(x)dx=12∫−∞∞R(x)dx=πi∑kRes[R(z),zk]\int_{0}^\infty R(x)dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty R(x)dx=\pi i \sum_{k}{\rm Res}[R(z),\,z_k] ∫0∞R(x)dx=21∫−∞∞R(x)dx=πik∑Res[R(z),zk]

(3) 形如 ∫−∞∞R(x)eiαxdx(α>0)\displaystyle\int_{-\infty}^\infty R(x)e^{i\alpha x} dx \ \ (\alpha>0)∫−∞∞R(x)eiαxdx (α>0) 的积分，当 R(x)R(x)R(x) 是 xxx 的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高 111 次，且 R(x)R(x)R(x) 在实数轴上没有奇点时，积分是存在的。其结论与上一个积分类似
I≜∫−∞∞R(x)eiαxdx=2πi∑kRes[R(z)eiαz,zk]I\triangleq\displaystyle\int_{-\infty}^\infty R(x)e^{i\alpha x} dx =2\pi i \sum_{k} {\rm Res}[R(z)e^{i\alpha z},\,z_k] I≜∫−∞∞R(x)eiαxdx=2πik∑Res[R(z)eiαz,zk]
且有
∫−∞∞R(x)cos⁡αxdx=Re(I)\displaystyle\int_{-\infty}^\infty R(x)\cos\alpha x\, dx = {\rm Re}(I) ∫−∞∞R(x)cosαxdx=Re(I)

∫−∞∞R(x)sin⁡αxdx=Im(I)\displaystyle\int_{-\infty}^\infty R(x)\sin\alpha x\, dx = {\rm Im}(I) ∫−∞∞R(x)sinαxdx=Im(I)

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【复变函数与积分变换】05. 留数

Contents

5 留数

5.1 孤立奇点的分类及其性质

5.2 留数定理

5.3 留数定理计算定积分

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