单应性矩阵的理解及求解4

https://blog.csdn.net/hudaliquan/article/details/52121832

网上有很多关于单应性矩阵的求解方法，但都没有说明怎样用四点求解单应性矩阵或者源码详细说明很少。这里说说自己的理解。

首先贴出matlab代码

% 返回值 H 是一个3*3的矩阵
% pts1 和 pts2是2*4的坐标矩阵对应特征点的(x,y)坐标
n = size(pts1,2);
A = zeros(2*n,9);
A(1:2:2*n,1:2) = pts1';
A(1:2:2*n,3) = 1;
A(2:2:2*n,4:5) = pts1';
A(2:2:2*n,6) = 1;
x1 = pts1(1,:)';
y1 = pts1(2,:)';
x2 = pts2(1,:)';
y2 = pts2(2,:)';
A(1:2:2*n,7) = -x2.*x1;
A(2:2:2*n,7) = -y2.*x1;
A(1:2:2*n,8) = -x2.*y1;
A(2:2:2*n,8) = -y2.*y1;
A(1:2:2*n,9) = -x2;
A(2:2:2*n,9) = -y2;
[evec,~] = eig(A'*A);
H = reshape(evec(:,1),[3,3])';
H = H/H(end); % make H(3,3) = 1

在齐次坐标中，假设一点p(xi,yi,1)经过H矩阵的变换变为p‘(xi',yi',1)，即 p' = H*p，通常，对于透视变换，H矩阵有8个自由度，这样至少需要4对特征点对求解。4个特征点对可以建立8个方程。那么对于有n对特征点的情况(超定方程)，解p' = H*p方程组可以转化为对齐次方程组Ax = 0 的求解。而对 Ax = 0 的求解转化为 min ||Ax||2 的非线性优化问题（超定方程，通过最小二乘拟合得到近似解）。

对于某一点(xi,yi)，其变换可表述为 p' = H*p，代入展开可得：

(1)

那么可得：

(2)

进一步变换为：

(3)

这样便可构造系数矩阵：

(4)

通过系数矩阵我们可以构造出齐次线性方程组(Ax = 0)：

(5)

即：

(6)

对于(6)这样的超定方程求解，可以通过最小二乘的方式求解。通过对系数矩阵A求取特征值和特征向量得到。通过以下方式获得最小二乘解：

[V,D] = eig(A'*A) (7)

其中D是特征值对角矩阵(特征值沿主对角线降序)，V是对应D特征值的特征向量(列向量)组成的特征矩阵,A'表示A的转置。其最小二乘解为V(1)，即系数矩阵A最小特征值对应的特征向量就是超定方程组Ax = 0的最小二乘解。

至此，H矩阵已经求取，后续可以通过随机采样一致性(RANSC)进行精选，或者通过LM进行优化。

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