复变函数（1）-复数及其几何属性

岁暮阴阳催短景，天涯霜雪霁寒宵

1.1 复数的定义：

设xxx与yyy是任意两个实数，形如x+yix+yix+yi或者x+iyx+iyx+iy的数称为复数，通常记作z=x+yiz=x+yiz=x+yi或z=x+iyz=x+iyz=x+iy。
其中xxx与yyy分别称为复数zzz的实部与虚部，记作x=Re(z)x=Re(z)x=Re(z), y=Im(z)y=Im(z)y=Im(z)。
一般情况下复数不能比较大小，当且仅当两个复数的实部和虚部分别相等时称为两个复数相等。

1.2 复数的运算：

复数加法：z1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)iz_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)iz1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)i
复数乘法：z1z2=(x1+y1i)(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)iz_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)iz1z2=(x1+y1i)(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i
复数减法：z1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)iz_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)iz1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)i
复数除法：z1z2=x1+y1ix2+y2i=x1x2+y1y2x22+y22+x2y1−x1y2x22+y22i\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}iz2z1=x2+y2ix1+y1i=x22+y22x1x2+y1y2+x22+y22x2y1−x1y2i

1.3 复数的运算性质：

z1+z2=z2+z1z_1+z_2=z_2+z_1z1+z2=z2+z1z1z2=z2z1z_1z_2=z_2z_1z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3z+0=0+z=0z+0=0+z=0z+0=0+z=0z⋅1=1⋅z=zz\cdot 1=1\cdot z=zz⋅1=1⋅z=z

1.4 共轭复数：

实部相同，虚部相反的两个复数称为共轭复数，与zzz共轭的复数记为z‾\overline{z}z。如果z=x+yiz=x+yiz=x+yi，则z‾=x−yi\overline{z}=x-yiz=x−yi。

共轭复数具有以下性质：
z1±z2‾=z1‾±z2‾\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}z1±z2=z1±z2z1z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}z1z2=z1⋅z2(z1z2)‾=z1‾/z2‾\overline{(\frac{z_1}{z_2})}={\overline{z_1}}/{\overline{z_2}}(z2z1)=z1/z2z‾‾=z\overline{\overline{z}}=zz=zz⋅z‾=[Re(z)]2+[Im(z)]2z\cdot \overline{z}=[Re(z)]^2+[Im(z)]^2z⋅z=[Re(z)]2+[Im(z)]2z+z‾=2Re(z)z+\overline{z}=2Re(z)z+z=2Re(z)z−z‾=2iIm(z)z-\overline{z}=2iIm(z)z−z=2iIm(z)

1.5 复平面：

一个复数z=x+yiz=x+yiz=x+yi由一个实数对(x,y)(x,y)(x,y)唯一确定，它与平面上以(x,y)(x,y)(x,y)为坐标的点一一对应。因此可以用平面上的点来表示复数z=x+yiz=x+yiz=x+yi。这种用来表示复数的平面称为复平面，也称为zzz平面，其中横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
在复平面上，复数zzz也可以用原点指向(x,y)(x,y)(x,y)的向量表示，向量的长度称为zzz的模或绝对值，记作∣z∣=r=x2+y2|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}∣z∣=r=x2+y2。复数的模具有如下性质:
∣x∣≤∣z∣,∣y∣≤∣z∣,∣z∣≤∣x∣+∣y∣|x|\le|z|\ ,\ |y|\le|z|\ ,\ |z|\le|x|+|y|∣x∣≤∣z∣ , ∣y∣≤∣z∣ , ∣z∣≤∣x∣+∣y∣zz‾=∣z2∣=∣z∣2z\overline{z}=|z^2|=|z|^2zz=∣z2∣=∣z∣2∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ 当z≠0z\ne 0z=0时，实轴为始边，向量为终边所形成的角θ\thetaθ，称为复数zzz的辐角，记为ArgzArg\ zArg z。
Argz=θArg\ z=\thetaArg z=θtan(Argz)=yx(x≠0)tan(Arg\ z)=\frac{y}{x}\quad(x\ne0)tan(Arg z)=xy(x=0) ArgzArg\ zArg z有无穷多值，任意两值之间相差2kπ2k\pi2kπ。有且仅有一个值属于区间(−π,π](-\pi,\pi](−π,π]，称该值为复数zzz的辐角主值，记为argzarg\ zarg z，有
Argz=argz+2kπ(k=0,±1,±2,…)Arg\ z=arg\ z+2k\pi\quad(k=0,\pm1,\pm2,\ldots)Arg z=arg z+2kπ(k=0,±1,±2,…)

1.6 复球面：

取一个与复平面相切于原点z=0z=0z=0的球面，球面上的一点S与原点重合。通过点S做垂直于复平面的直线，与球面相交于另一点N，称S为南极，N为北极。对于复平面内任意一点zzz,如果用一条直线段将zzz与N连接起来，那么该直线一定与球面交于异于N的唯一点P。同理，对于球面上任一不同于N的点P，NP的延长线与复平面必交于唯一点zzz。因此球面上的点除了N之外都和复平面上的点存在一一对应关系，所以可以用球面上的点表示复数。这样的球面称为复球面。
规定复平面上有唯一的无穷远点，与N相对应。即复数中有唯一的一个无穷大与与复平面上的无穷远点相对应，记为∞\infty∞。对于复数∞\infty∞，其实部，虚部和辐角的概念均无意义，它的模规定为正无穷大，即∣∞∣=+∞|\infty|=+\infty∣∞∣=+∞。
把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。不包括无穷远点的复平面称为有限平面，或者复平面。

1.7 复数的三角表示

设复数z=x+yiz=x+yiz=x+yi的模为∣z∣=r|z|=r∣z∣=r，辐角为Argz=θArg\ z=\thetaArg z=θ。所以可以把zzz表示为：
z=r(cosθ+isinθ)z=r(cos\theta+isin\theta)z=r(cosθ+isinθ) 称为复数的三角表示式。
利用欧拉公式
eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\thetaeiθ=cosθ+isinθ 复数又可以表示为
z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ 称为复数的指数表示式。
有
z1z1=r1r2ei(θ1+θ2)z_1z_1=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}z1z1=r1r2ei(θ1+θ2)∣z1z2∣=r1r2=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1||z_2|∣z1z2∣=r1r2=∣z1∣∣z2∣Arg(z1z2)=θ1+θ2=Arg(z1)+Arg(z2)Arg(z_1z_2)=\theta_1+\theta_2=Arg(z_1)+Arg(z_2)Arg(z1z2)=θ1+θ2=Arg(z1)+Arg(z2)z1z2=r1r2ei(θ1−θ2)(r2≠0)\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\quad (r_2\ne 0)z2z1=r2r1ei(θ1−θ2)(r2=0)∣z1z2∣=r1r2=∣z1∣∣z2∣|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}∣z2z1∣=r2r1=∣z2∣∣z1∣Arg(z1z2)=θ1−θ2=Argz1−Argz2Arg(\frac{z_1}{z_2})=\theta_1-\theta_2=Arg\ z_1-Arg\ z_2Arg(z2z1)=θ1−θ2=Arg z1−Arg z2