整数平方根:整数开方及大整数开方解决方法
求整数N的开方,精度在0.001
二分法
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h> #define ACCURACY 0.001 double newSqrt(double n)
{ double low, high, mid, tmp; // 获取上下界 if (n > 1) { low = 1; high = n; } else { low = n; high = 1; } // 二分法求开方 while (low <= high) { mid = (low + high) / 2.000; tmp = mid * mid; if (tmp - n <= ACCURACY && tmp -n >= ACCURACY * -1) { return mid; } else if (tmp > n) { high = mid; } else { low = mid; } } return -1.000;
} int main(void)
{ double n, res; while (scanf("%lf", &n) != EOF) { res = newSqrt(n); printf("%lf\n", res); } return 0;
}
牛顿迭代法思路求解:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int N;cout<<"输入N的值:";cin>>Ndouble x1 = 1;//初值double x2 = x1/2.0+N/2.0/x1;while( fabs(x2-x1)>0.001){x1 = x2;x2 = x1/2.0+N/2.0/x1;}cout<<x1<<endl;return 0;
}
整数开方定义
所谓整数平方根即。
算法
算法1.猜试法
利用等差级数公式:
这样的话, 从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,即是所求。下面给出source code(C):
unsigned linear_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 1;
unsigned n = 1;
if(x <= 1)
{
return x;
}
while(sum_n <= x)
{
n++;
sum_n += (n<<1) - 1;
}
return (n-1);
}
这种方法无异于穷举法,其唯一的优点是:每次的迭代用到了前面迭代的结果,所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举,改用我们熟悉的二分查找法来做。(二分逼近法)
unsigned bi_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 0;
unsigned n = (x >> 1);
unsigned top = x;
unsigned bottom = 0;
if (x <= 1)
{
return x;
}
for (;;)
{
sum_n = n * n;
if (sum_n < x)
{
bottom = n;
n += ((top - bottom) >> 1);
if (n == bottom)
return n;
}
else
if (sum_n > x)
{
top = n;
n -= ((top - bottom) >>1);
if (n == top)
return n-1;
}
else
{
return n;
}
}
}
算法2 Newton 法
把这个问题转换为方程求根问题,即:,求x。
而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同,即所求的根必须是整数。通过证明,我们可以发现,Newton迭代公式是适用于整数情况的,于是有:
至于是怎么证明的,可以参考hacker’s delight。
另外,初值的选择也是很重要的一环,这里我们选择大于等于的最小的2的幂次数。
OK,下面给出程序:
unsigned newton_method(unsigned long x)
{
unsigned long x1 = x - 1;
unsigned s = 1;
unsigned g0,g1;
/* 初值设定 通常将初始值设为1,但是只有1的开方才会是1,通过预处理找到更精确地初始值a[n]*/
if (x1 > 65535) {s += 8; x1 >>= 16;}
if (x1 > 255) {s += 4; x1 >>= 8;}
if (x1 > 15) {s += 2; x1 >>= 4;}
if (x1 > 3) {s += 1; x1 >>= 2;}
/*迭代*/
g0 = 1 << s;
g1 = (g0 + (x >> s)) >> 1;
while(g1 < g0)
{
g0 = g1;
g1 = (g0 + x/g0) >> 1;
}
return g0;
}
算法3 逐比特确认法
逐比特确认法认为一个32位整数求根,结果应该是一个16位整数。求这个16位整数,其实质是确认每位的比特是0还是1.我们把这个根分为两个相加的部分,一部分是已确认的值,另一部分是未确认的值。从高位到低位,每次迭代确认一位。初始时,已确认部分为0。则问题的初始形式为:
算法发明者为:James Ulery 论文:Computing Integer Square Roots
下面给出源代码:
unsigned bitwise_verification(unsigned long x)
{
unsigned long temp = 0;
unsigned v_bit = 15;
unsigned n = 0;
unsigned b = 0x8000;
if (x <= 1)
return x;
do{
temp = ((n << 1) + b) << (v_bit--);
if (x >= temp)
{
n += b;
x -= temp;
}
}while (b >>= 1);
return n;
}
性能比较
在0~1000000范围内对四种算法进行了遍历性的测试,得到测试结果:
显见四种算法的遍历性能以逐比特确认法为最好,逐比特确认法从本质上来说是一种二分查找法,而且其查找范围为整个16位整数域;而我们实现的二分查找法的查找范围到已知变量为止,从范围上来说比逐比特确认法来得小,但是最后平均性能却不及逐比特确认法。其原因在于:逐比特确认法把问题分解为相同的子问题的集合,采用递推的方法,很好地利用了前面步骤的结果,不用什么都从头算起,从而避免了重复劳动,用加减法和移位操作代替了乘除法操作,最终获得了性能上的增益。
需要注意的是,虽然平均性能有如此的关系。并不代表每个数或每组数都有这样的关系。实际上,我们每组产生1000个随机数,并对每组的算法性能进行了测试,各个算法都有获得优胜的时候。至于具体是什么场合用什么算法,需要分析和经验的支撑。目前,我所能归纳出的概要指导准则为:
(1)在大多数情况下,牛顿迭代都能获得不错的性能,
(2)逐比特确认法更适合运算数比较大的场合。
平方根手写算法
原理网上说是(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + (2a+b)*b。并没有完全看明白,这里就不班门弄斧了,等以后搞清楚,再补上吧!
/* 大整数开方 ,模拟手工开方*/
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <stdlib.h>
# include <math.h>
# include <time.h># define MAXN 1001void bigN_sqrt(char *s);
int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim);
void bigN_mul(char *a, int k, int lim);
void bigN_add(char *a, int k);
void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim);
int Newtonsqrt(double x); //牛顿迭代可求求64位数的平方根
char str[MAXN];int main()
{freopen("hugeint.in", "r", stdin);freopen("hugeint.out", "w", stdout);while (~scanf("%s", str))bigN_sqrt(str);// printf("time cost %.3lfs.\n", (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);return 0;
}int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim)
{int i;for (i = lim-1; i >= 0; --i)if (a[i] < b[i]) return 1;else if (a[i] > b[i]) return -1;return 0;
}
void bigN_mul(char *a, int k, int lim)
{int i, tmp, c;for (c=i=0; i < lim; ++i) {tmp = a[i]*k + c;c = tmp / 10;a[i] = tmp - 10*c;}
}
void bigN_add(char *a, int k)
{int i = 0;while (k > 0) {a[i++] += k%10;k /= 10;}
}
void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim) // b = b - a;
{int i, tmp, c;for (c=i=0; i < lim; ++i) {tmp = b[i] - a[i] + c;c = (tmp<0 ? -1:0);b[i] = (tmp+10) % 10;}
}int Newtonsqrt(double x)
{double x1 = 1;//初值double x2 = x1/2.0+x/2.0/x1;while( fabs(x2-x1)>0.1){x1 = x2;x2 = x1/2.0+x/2.0/x1;}return floor(x1);
}
void bigN_sqrt(char *s)
{short int i, k, slen; // 根的一个十进制位char res[MAXN]; // 试方余数char cur[MAXN]; // 试方上限char tmp[MAXN];int lim;memset(res, 0, sizeof(res));memset(cur, 0, sizeof(cur));lim = slen = strlen(s);if (slen < 18) { //非大整数,直接调用sqrt()计算平方根,结束 。sqrt()计算平方根并非完全正确,在测试的过程中// sqrt(8456552264) = 91960 ,而实际上 8456552264的平方根是91959 ,因此采用Newton迭代法求解 // printf("%.0lf\n", sqrt(atof(s)));// printf("%.0lf\n", sqrt(8456552264));double value=atof(s);printf("%d",Newtonsqrt(value));return ;}if (slen & 0x1) {k = -1;cur[0] = s[0] - 48;} else {k = 0;cur[1] = s[0] - 48;cur[0] = s[1] - 48;}while (1) {i = 0;while (1) {++i;memcpy(tmp, res, MAXN);bigN_mul(tmp, i*20, lim);bigN_add(tmp, i*i);if (-1 == bigN_cmp(tmp, cur, lim)) break; // break until tmp > cur;}--i;printf("%d", i);memcpy(tmp, res, MAXN); //cur -= res*i*20+i*i;bigN_mul(tmp, i*20, lim);bigN_add(tmp, i*i);bigNN_minus(tmp, cur, lim);bigN_mul(res, 10, lim); // res = res*10+i;bigN_add(res, i);k += 2;if (k >= slen) break;else {bigN_mul(cur, 100, lim);bigN_add(cur, ((s[k]-48)*10+(s[k+1]-48)));}}printf("\n");
}
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