数据结构——图

图的定义和基本术语
图的类型定义
图的存储结构
- 数组（邻接矩阵表示法）
- 网（即有权图）的邻接矩阵表示法
- 邻接表
- - 邻接表表示法(链式)
  - 图的邻接表存储表示
  - 采用邻接表表示法创建无向网
  - 邻接矩阵与邻接表表示法的关系
- 十字链表——用于有向图
- 邻接多重表（无向图的另一种链式存储结构）

图的定义和基本术语

图：G=(V，E) Grapg = (Vertex, Edge)
V：顶点(数据元素)的有穷非空集合；
E：边的有穷集合

无向图：每条边都是无方向的
有向图：每条边都是有方向的

完全图：任意两点都有一条边相连

稀疏图：有很少边或弧的图（e < nlogⁿ）
稠密图：有较多边或弧的图
网：边/弧带权的图
邻接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系
存在(v_i，v_j)，则称v_i和v_j互为邻接点；
存在<v_i，v_j>，则称v_i邻接到v_j，v_j邻接于v_i
关联(依附)：边/弧与顶点之间的关系
顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v)
在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和
顶点 v 的入度是以 v 为重点的有向边的条数，记作 ID(v)
顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数，记作 OD(v)

路径：接续的边构成的顶点序列
路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和
回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径
简单路径：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径

连通图（强连通图）
有无（有）向图G =（V，{E}）中，若对任何两个顶点 v、u 都存在从 v 到 u 的路径，则称G是连通图（强连通图）

权与网：
图中边或弧所具有的的相关数称为权，表明从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费；带权的图称为网

子图：
设G =（V，{E}）、G1 =（V1，{E1}），若V1⊆ V，E1⊆E，则称G1是G的子图

连通分量（强联通分量）

无向图G的极大连通子图称为G的连通分量
极大连通子图意思是：该子图是G连通子图，将G的任何不在该子图中的顶点加入，子图不再连通
有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分量
极大强连通子图意思是：该子图是G的强连通子图，将D的任何不在该子图中的顶点加入，子图不再是强连通的

极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图不再连通
生成树：包含无向图G 所有顶点的极小连通图
生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树的集合

图的类型定义

图的抽象数据类型定义如下：

ADT Graph{
数据对象V：具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集
数据关系R：R = {VR}
VR = {<v,w>|<v,w>| v,w∈V ^ p(v,w)，
<v,w>表示从v到w的弧，p(v,w)定义了弧<v,w>的信息
}
CreateGraph(&G, V, VR)
初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合
操作结果：按V和VR的定义构造图G
DFSTraverse(G)
初始条件：图G存在
操作结果：按图进行深度优先遍历
BFSTraverse(G)
初始条件：图G存在
操作结果：对图进行广度优先遍历
}ADT Graph

图的存储结构

图的逻辑结构：多对多

数组（邻接矩阵表示法）

建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）
- 设图 A = (V,E)有n个顶点，则
- 图的邻接矩阵是一个二维数组 A.arcs[n][n]，定义为：

分析1：无向图的邻接矩阵是对称的
分析2：顶点i的度 = 第 i 行（列）中 1 的个数
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余为1

注：在有向图的邻接矩阵中，
第 i 行含义：以结点v_i为尾的弧(即出度边)
第 i 列含义：以结点v_i为头的弧(即入度边)

分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的
分析2：顶点的出度 = 第 i 行元素之和
顶点的入度 = 第 i 列元素之和
顶点的度 = 第 i 行元素之和 + 第 i 列元素之和

网（即有权图）的邻接矩阵表示法

邻接矩阵的存储表示：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵

#define MaxInt 32767 //表示极大值，即∞
#define MVNum 100       //最大顶点数
typedef char VerTexType;    //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;    //假设边的权值类型为整型typedef struct{VerTexType vexs[MVNum];     //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];        //邻接矩阵int vexnum, arcnum;       //图的当前点数和边数
}AMGraph;   // Adjacency Matrix Graph

采用邻接矩阵表示法创建无向网

算法思想：

输入总顶点数和总边数
依次输入点的信息存入顶点表中
初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
构造邻接矩阵

//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
Status CreateUDN(AMGraph &G){cin >> G.vexnum >> G.arcnum;   //输入总顶点数，总边数for(i = 0; i < G.vexnum; ++i)cin >> G.vexs[i];           //依次输入点的信息for(i = 0; i < G.vexnum; ++i)   //初始化邻接矩阵for(j = 0; j < G.vexnum; ++j)G.arcs[i][j] = MaxLnt;     //边的权值均置为极大值//构造邻接矩阵for(k = 0; k < G.arcnum; ++k){cin >> v1 >> v2 >> w;     //输入一条边所依附的顶点及边的权值i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G ,v2);      //确定v1和v2在G中的位置G.arcs[i][j] = w;           //边<v1, v2>的权值置为wG.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];        //置<v1, v2>的对称边<v2, v1>的权值为w}return OK;
}//CreateUDN

补充算法：在图中查找顶点

//在图G中查找顶点u，存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1
int LocateVex(AMGraph G, VertexType u){int i;for(i = 0; i < G.vexnum; ++i)if(u == G.vexs[i])    return i;return -1;
}

邻接表

邻接表表示法(链式)

顶点：按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中
关联同一顶点的边(以顶点为尾的弧)：用线性链表存储

无向图

特点：

邻接表不唯一
若无向图中有n个顶点、e条边，则其邻接表需n个头结点和2e个表结点。适宜存储稀疏图
无向图中顶点v_i的度为第i个单链表中的结点数

有向图

特点：

顶点v_i的出度为第 i 个单链表中的结点个数
顶点v_i的入度为整个单链表中邻接点域值是 i - 1 的结点个数(需要遍历整个链表)

特点：

顶点v_i的入度为第 i 个单链表中的结点个数
顶点v_i的出度为整个单链表中邻接点域值是 i - 1 的结点个数(需要遍历整个链表)

图的邻接表存储表示

typedef struct VNode{VerTexType data;        //顶点信息ArcNode * firstarc;       //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode, AdjList[MVNum]      //AdjList表示邻接表类型

说明：例如 AdjList v; 相当于：VNode v[MVNum];

#define MVNum 100                //最大顶点数
typedef struct ArcNode{         //边结点int adjvex;                    //该边所指向的顶点的位置       struct ArcNode * nextarc;   //指向下一条边的指针OtherInfo info;              //信息域;存储和边相关的信息
}ArcNode;

图的结构定义：

typedef struct{AdjList vertices;     //vertices--vertex的复数int vexnum, arcnum;        //图的当前顶点数和弧数
}ALGraph;

采用邻接表表示法创建无向网

算法思想：

输入总顶点数和总边数
建立顶点表
依次输入点的信息存入顶点表中
使每个表头结点的指针域初始化为NULL
创建邻接表
依次输入每条边依附的两个顶点
确定两个顶点的序号 i 和 j，建立边结点
将此边结点分别插入到v_i和v_j对应的两个边链表的头部

//采用邻接表表示法，创建无向图G
Status CreateUDG(ALGraph &G){cin >> G.vexnum >> G.arcnum;       //输入总顶点数、总边数for(i = 0; i < G.vexnum; ++i){        //输入各点，构造表头结点表cin >> G.vertices[i].data;       //输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL;  //初始化表头结点的指针域}//forfor(k = 0; k < G.arcnum; ++k){     //输入各边，构造邻接表cin >> v1 >> v2;             //输入一条边依附的两个顶点i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);p1 = new ArcNode;                //生成一个新的边结点*p1p1 -> adjvex = j;             //邻接点序号为jp1 -> nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i]firstarc = p1;        //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部p2 = new ArcNode;              //生成另一个对称的新的边结点*p2p2 -> adjvex = i;             //邻接点序号为ip2 -> nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2;   //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部}//forreturn OK;
}

邻接矩阵与邻接表表示法的关系

联系：邻接表每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数
区别：
① 对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）
② 邻接矩阵的空间复杂度为O(n²),而邻接表的空间复杂度为O(n+e)
用途：邻接矩阵多用于稠密图；而邻接表多用于稀疏图

十字链表——用于有向图

十字链表(Orthogonal List)是有向图的另一种链式存储结构，可以将它看成有向图的邻接表和逆邻接表结合起来形成的一种链表

有向图中的每一条弧对应十字链表中的一个弧结点，同时有向图中的每个顶点在十字链表中对应有一个结点，叫做顶点结点

邻接多重表（无向图的另一种链式存储结构）

邻接表优点：容易求得顶点和边的信息
缺点：某些操作不方便（如：删除一条边需找表示此边的两个结点）

邻接多重表：

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