NOIp 2020 微信步数 题解
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题目大意： 有一个 kkk 维空间，你要从每一个位置出发走一条循环路线，直到走出边界为止，求走过的总步数。
题解
转化一下，每天走过的总步数，等于每个时刻能走的天数之和。
将 nnn 步看成一轮，那么每轮内在一维上走过的一定是个区间。
设 一轮内，走了第 iii 步后，在第 jjj 维走过的这个区间为 [xj+li,j,xj+ri,j][x_j+l_{i,j},x_j+r_{i,j}][xj+li,j,xj+ri,j]，那么在走到第 iii 步还没有走出边界的点，就需要满足 1−li,j≤xj≤wj−ri,j1-l_{i,j}\leq x_j\leq w_j-r_{i,j}1−li,j≤xj≤wj−ri,j。
设 一轮后，第 jjj 维的位移为 djd_jdj。除了第一轮和最后一轮，走过一轮后，第 jjj 维一定有恰好 djd_jdj 个位置走出边界，那么第 2+t(t≥0)2+t(t\geq 0)2+t(t≥0) 轮的第 iii 步时，第 jjj 维能用的位置就有 wj−max(rn,j,ri,j+dj)+min(ln,j,li,j+dj)−∣dj∣×tw_j-\max(r_{n,j},r_{i,j}+d_j)+min(l_{n,j},l_{i,j}+d_j)-|d_j|\times twj−max(rn,j,ri,j+dj)+min(ln,j,li,j+dj)−∣dj∣×t 个。
乘起来，就得到了第 ttt 轮，第 iii 步时还没有走出边界的起点个数。发现这是个关于 ttt 的 kkk 次多项式，记为 fi(t)=∑j=0kajtjf_i(t)=\sum_{j=0}^k a_jt^jfi(t)=∑j=0kajtj，不难得出 ttt 的上界，记为 tmaxt_{max}tmax，那么贡献就是 ∑t=0tmaxfi(t)=∑t=0tmax∑j=0kajtj=∑j=0kaj∑t=0tmaxtj\sum_{t=0}^{t_{max}}f_i(t)=\sum_{t=0}^{t_{max}}\sum_{j=0}^ka_jt^j=\sum_{j=0}^ka_j\sum_{t=0}^{t_{max}}t^j∑t=0tmaxfi(t)=∑t=0tmax∑j=0kajtj=∑j=0kaj∑t=0tmaxtj。
后面是个自然数幂和，用拉格朗日插值搞搞就行。那么每次需要 k2k^2k2 暴力卷出 fi(t)f_i(t)fi(t)，时间复杂度就是 O(nk2)O(nk^2)O(nk2)。
以及第 111 轮和第 tmax+1t_{max}+1tmax+1 轮要单独计算，用那个将每一维可用起点数乘起来的做法算即可。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007int n,k,w[11],ans=0;
int d[11];
int l[500010][11],r[500010][11];
void add(int &x,int y){x=(x+y>=mod?x+y-mod:x+y);}
void dec(int &x,int y){x=(x-y<0?x-y+mod:x-y);}
struct Poly{int a[11],t;Poly(){t=0;memset(a,0,sizeof(a));}void clear(){t=0;memset(a,0,sizeof(a));}void operator *=(Poly &B){Poly re;re.t=t+B.t;for(int i=0;i<=t;i++)for(int j=0;j<=B.t;j++)add(re.a[i+j],1ll*a[i]*B.a[j]%mod);*this=re;}
}s[11];
int t_max=1e9;
int calc_round_1(){//暴力求解第一轮int re=0;for(int i=1;i<=n;i++){int prod=1;for(int j=1;j<=k;j++)if(w[j]-r[i][j]+l[i][j]>0)prod=1ll*prod*(w[j]-r[i][j]+l[i][j])%mod;else {prod=0;break;}add(re,prod);}return re;
}
int calc_round_t_max_and_1(){//暴力求解最后一轮int re=0;for(int i=1;i<=n;i++){int prod=1;for(int j=1;j<=k;j++){int p=w[j]-max(r[n][j],r[i][j]+d[j])+min(l[n][j],l[i][j]+d[j])-(t_max+1)*abs(d[j]);if(p>0)prod=1ll*prod*p%mod;else {prod=0;break;}}add(re,prod);}return re;
}
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
struct Lagrange{//自然数幂和板子int fac[20],inv_fac[20];Lagrange(){}void init(){fac[0]=inv_fac[0]=1;for(int i=1;i<=15;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;inv_fac[15]=ksm(fac[15],mod-2);for(int i=14;i>=1;i--)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i+1]*(i+1)%mod;}int pre[20],suf[20];int calc(int k,int x){if(!k)return x+1;int re=0,sum=0;if(x<=k+2){for(int i=0;i<=x;i++)add(re,ksm(i,k));return re;}pre[0]=1;for(int i=1;i<=k+2;i++)pre[i]=1ll*pre[i-1]*(x-i)%mod;suf[k+3]=1;for(int i=k+2;i>=1;i--)suf[i]=1ll*suf[i+1]*(x-i)%mod;for(int i=1;i<=k+2;i++){add(sum,ksm(i,k));(k+2-i&1?dec:add)(re,1ll*sum*pre[i-1]%mod*suf[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+2-i]%mod);}return re;}
}Lag;
int cd[20];int main()
{scanf("%d %d",&n,&k);ans=1;for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&w[i]),ans=1ll*ans*w[i]%mod;for(int i=1,x,y;i<=n;i++){scanf("%d %d",&x,&y);d[x]+=y;for(int j=1;j<=k;j++)l[i][j]=min(l[i-1][j],d[j]),r[i][j]=max(r[i-1][j],d[j]);}bool tf=false;//判无解for(int i=1;i<=k;i++)if(l[n][i]+r[n][i]>=w[i]||d[i]!=0)tf=true;if(!tf)return puts("-1"),0;for(int i=1;i<=k;i++)//求t_maxif(w[i]-r[n][i]+l[n][i]<=0){t_max=-2;break;}else if(d[i]!=0)t_max=min(t_max,(w[i]-r[n][i]+l[n][i])/abs(d[i])-1);add(ans,calc_round_1());if(t_max>-2)add(ans,calc_round_t_max_and_1());if(t_max>=0){Lag.init();//预处理自然数幂和for(int i=0;i<=k;i++)cd[i]=Lag.calc(i,t_max);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=k;j++){s[j].clear();//计算出所有多项式，暴力乘起来s[j].t=d[j]!=0;s[j].a[0]=w[j]-max(r[n][j],r[i][j]+d[j])+min(l[n][j],l[i][j]+d[j]);s[j].a[1]=(mod-abs(d[j]))%mod;if(j>1)s[j]*=s[j-1];}for(int j=0;j<=k;j++)add(ans,1ll*s[k].a[j]*cd[j]%mod);}}printf("%d",ans);
}
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