McCreight-Algorithmus

在O(n)时间内构造后缀树

基本思想

在ST中插入 suffi suff_i时，以下内容可以起到帮助作用：
1.v是ST中从根节点到叶节点i-1的一个内部节点，那么path-label(v)=ca就是 suffi suff_i的前缀。(其中c是单个字符，a是一个字符串并且a可能为空)
2.因为v是一个内部节点，故存在其他后缀 suffj suff_j(j < i-1)拥有相同的前缀。//不一定比i-1小吧？？？也不一定存在把？？？
//因为节点存在所以一点存在j，节点意味着分叉
3.因为 suffj+1 suff_{j+1}已经插入，那么同样的也就存在以a为前缀的路径。当这个前缀a在内部节点u处终结，那么我们就有SL(v) = u。现在就可以从节点v直接跳到节点u了。
4.如此就可以避免比较 suffi suff_i的前|a|个字符
定理：(很重要)
如果v是在ST中插入后缀 suffi suff_i时建立的内部节点，并且有path-label(v) = ca，c是单个字符，a是一个字符串(可能为空)。那么或者存在一个节点u，相应的path-label(u) = a, 又或者他将会在插入后缀 suffi suff_i时被创造。
(有这个定理也可以看出为什么，你没有那么你爸也一定会有)
//插靓图。。。
//顺便插入设定SL的方法图

伪代码

//Algorithmus SuffiBaumAusStringSchnell(s):Knoten root = new Knoten();
Knoten leaf = new Knoten(1);//Knoten für ganzen String bzw. suff_i
Kante edge = new Kante (root, leaf, suff_i);--Kante von der Wurzel zu erstem Blatt
int i = 2； //aktuelles Suffixwhile(x <= |s|){
//从叶节点出发向上查询，直到第一个节点
<steige von leaf auf bis zum ersten internen Knoten v>
//如果v有后缀指引
if(<v hat Suffix-Verweis SL(v)>{//跟随指引到达节点u<Folge SL(v) zu Knoten u>
}else{//继续上升到v的父节点v',并跟随v'的指引到达u'<steige auf zu Vaterknoten v' von v und folge SL(v') zu Knoten u'>//沿着u'向下越过|path-label(v)|-|path-label(v')|个字符建立新的节点u SL(v)= u;<Steige von u' um |path-label(v)|-|path-label(v')| Zeichen in dem Baum ab und erzeuge Knoten u durch Spalten einer Kante>
}
//沿着u向下走，直到出现不同字符
<Steige von u in den Baum ab, so lange die bisher durchschrittene Pfad-Beschriftung mit suff_i übereinstimmt>
//保存最大相同前缀的字符数为m
<Benenne Anzahl der übereinstimmenden Zeichen mit m>
Knoten leafParent;
//如果现在刚好在节点上
if(<Abstieg endet an Knoten>){//把目前的点作物叶的父节点leafParent = <Knoten, an dem Abstieg endet>;
}else{// abstieg endet mitten in KanteleafParent = new Knoten();//插入新节点作为叶的父节点<spalte zuletzt durchschrittene Kante durch Einfügen von leafParent>
}
leaf = new Knoten(i); //Knoten i als Beschriftung
edge = new Kante（leafParent, leaf, s[i+m...|s|);
p = p + 1;
}

//上面的算法缺少设定SL(v),地方比较明显，但是怕出错，因此源代码不好改。知道就好
//上面算法也没有撞天花板检测，知道就行。。。好吧知道。。思路就行
//向上最多爬两层，必定有LS的。这个由定理可以推出
//没插入一个值耗时为整数，固最后总时为O(n)
//自己玩玩，画123456123456y的后缀树？？
//1234x1234yc1234xc1234z的后缀树呢？？

后缀树的数据结构(Datenstruktur Suffix-Braum)

后缀树的节点一般有两种数据结构：
1.Knoten1
Knoten1[] children = new Knoten1[a];
也就是给每个孩子分配一个指针
每个节点占O(a)，整棵树占O(n*a)，寻找孩子耗时O(1)
2.Knoten2
Knoten2 leftMostChild;
Knoten2 nextSibling;
只有最左边孩子和邻近兄弟的指针
每个节点占O(1)，整棵树占O(n),寻找孩子耗时O(a)

后缀树以及后缀数组的应用

比较经典的用处有三个，分别是：
1.Pattern Matching
2.Text-Kompression
3.Longest Common Prefix

Pattern Matching

1.已知P是一个Pattern，ST(s)是字符串s的后缀树。
2.对照Pattern，从ST的根节点出发向下走，
3.如果走到无路可走了，就输出匹配不了
4.如果在一条边上匹配结束，那么直接跳到该边的终点。如果匹配结束时干好在一个节点上，那就省了上面那一步。
5.在一这个节点为根节点的子树种的所有叶节点都符合这个Pattern。
(Anfrage kann auch Intervall sein. Nach Intervallgrenzen suchen)//啥意思？？？
正则表达式：
同样的方法也适合正则表达式( reguläreer Ausdruck)：
1.首先要把正则表达式转化为有限状态自动机(话说无限的可不可以？？？)(Automaten)
2.纵向搜说自动机(Tiefsuche)，同时ST树从树根向下匹配
3.自动机的回路同样对应着树的向下搜索。
4.当自动机达到目标终点：处理同前

//Algorithmus FindeAlleMatches(ST(s),P)
//后缀树根节点
Knoten node = <Wurzel des Suffix-Baums
Kante edge;
int p = 1;//aktuelle Position in P
int e = 1;//Aktuelle Position in aktueller Kante
while(p <= |p|){
if(node != null){//拥有与p匹配的字符串的边edge = <von node ausgehend Kante, deren Beschriftung mit p[p] beginnt>;//没找到这样的边if(edge == null){//keine passend Kante gefunden//返回没找到return keine Matches von P gefunden>;//第一个字符已经用于选边了}else{//erstes Zeichen schon für Auswahl  der Kante geprüft//直接看边上字符串的第二个字符e = 2;//geht zum nächsten Zeichen der Beschriftung von edgep = p + 1;}node = null;
}else if(edge != null){//e大于边上字符串的长度if( e > |<Beschriftung edge>|){//node设为边的终点node = <Endknoten von edge>;edge = null;//如果边上字符串的第e个字符和P[p]匹配}else if (<Beschriftung edge>[e] == P[p]){e = e + 1;p = p + 1;}
}else {//返回找不到对应匹配return <keine Mathes von P gefunden>
}
}
if(edge != null){//把node设为边的终点node = <Endknoten von edge>
}
if( node != null){//返回node下得所有叶节点return <alle Blätter im Teilbaum unter node》
}else{//返回没找到P的匹配return <keine Matches von P gefunden>
}

Pattern Matching和后缀数组
基本思想：因为后缀数组是按照字典序排序的，因此匹配项在数组中的位置应该也是直接相连的。//??????
1.找到满足下面条件SA(s)中的最小得位置i：P是 suffSA[i] suff_{SA[i]}的前缀。
2.如果不存在这样的i，那么P不在s中
3.如果存在，则寻找SA[s]满足下面条件的最大得位置j：P是 suffSA[j] suff_{SA[j]}的前缀
4.SA[i..j]就是匹配Pattern的项
5.时间：O(|P|*log|s|)
其中log|s|用于前缀二进制匹配。

//Algorithmus FindeAlleMatches(SA(s), P):int left = 1; //linker Rand der binären Suche
int right = |s|; //rechter Rand der binären Suche
//m是指中间位置binary search
int m; // mittlere Position der binären Suche//(suff_SA[l]不以P开始或suff_SA[r]不以P开始)&&(1<r)
while((!<suff_SA[l] beginnt mit P>||!<suff_SA[r]beginnt mit P)&&(l<r)){m = (1+r) / 2;if(suff_SA[m] < P){l = m;}else if(suff_SA[m] > P){r = m;}else{int i = m;//邻近检测while ((i>1)&&<suff_SA[i-1] beginnt mit P>)i++;int j = m;while((j < r)&& <suff_SA[j+1] beginnt mit P)j++;//返回匹配项return <Positionen der Matches in SA(s) zwischen i und j;}
}
if(l < r){//返回匹配项return <Positionen der Matches in SA(s) zwischen l und r>;
}else{//返回找不到匹配return <P kommt in s nicht vor>;
}

另外利用LCP数组可以减少字符比较，最终可以把时间缩短到O(|P|+log|s|)。//??

Text Compression

Ziv-Lempel-Algorithmus:
基本思想：使用输入字符串的冗余(redundanz)

//Algorithmus Komprimiere(s)
//从第一个字符开始，k为压缩后的字符串
String k = s[1];//beginne komprimierten String mit erstem Zeichen
int i = 2;//Position im verbleibenden Teil von swhile(i <= |s|){//solange weitere Zeichen von s zu komprimieren//l赋值为s[1...i-1]中含有的suff_i的最长前缀int l = |<längstes in s[1...i-1] enthaltene Präfix von suff_i>|;if(l==0){//不压缩k += s[i];//hänge aktuelles Zeichen an komprimierten String an i++;//gehe yum nächsten Zeichen}else{//nächste 1 Zeichen komprimierbar//j设置为s[i...i+l-1]在s[1...i-1]中的位置int j = <Position von s [i...i+l-1] in s[1...i-1]>;k += (j,l);//hänge j und l an komprimierten String ani++;}}

//可插图
为了方便压缩，一般在使用之前要做一些准备：
1.在Knoten中存储String-depth
2.在每个内部节点中存储min(v),他用于表示v下最小得叶节点的编号。
//加入这些信息后能怎么优化呢？？？？？
//插图吧、、、、

Longest Common Prefix(Tiefster gemeinsamer Vorgänger,Lowest Common Ancestor)

Euler Tour:
就是用数组E记录纵向遍历经过的每一个节点。具体看图吧
//插图一张如果能上传的话
叶节点出现一次，内部节点出现多次，以根节点为起始，同时也以根节点为终结。
准备：
1.首先给ST上得节点编号，包括内部节点和根节点
2.用数组E记录Euler Tour：|E|=2|ST|-1
//出根节点外，每个内部节点重复的次数为其出度个数+1
//内部节点出度总和为树节点树-1
3.用数组L记录E访问到的节点的tree-depth：|L|=2|ST|-1
L[i]=tree-depth(E[i])
4.用数组R记录节点i在E中第一次出现的位置：|R|=|ST|
R[i]= rankE(i) rank_E(i)
5.那么 RMQL(i,j) RMQ_L(i,j)为索引i和j之间最小的L(包括i，j)
RMQ为Range Minimum Query
那么就有lca(i,j) = E[RMQL(R[i],R[j])] E[RMQ_L(R[i],R[j])]
//插图一张
优化：
//木看懂回看、、、、

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