离散型随机变量，二项分布，泊松分布，几何分布（概统2.知识）

离散型随机变量，二项分布，泊松分布，指数分布，几何分布（概统2.知识）

1.0-1分布 。例如抛硬币，正面朝上设为1，反面朝上设为0
分布律为

结果随机变量X	1	0
概率 P	p	1-p

2.二项分布
例如n次射击，每次只有射中与射不中两种结果，求n次射击恰好射中k次的概率。
设射中次数为随机数X，

二项分布就是独立事件n重伯努利试验，每次试验只有A发生与不发生两种结果，求n次试验中恰好发生k次的概率。

伯努利概型在前面博文已经写过，请参看前面博文：独立性，重复独立事件，伯努利概型（概统1）

P{X=k} = $C_{n}^{k}p{k}q^{n-k}, $k=0,1,2,…n
q=1-p;
记为 X~B(n,p)

二项分布的最大k值问题，请看博文：计算二项分布最大值，二项分布推导泊松分布，几何分布（概统2.证明）

3.泊松分布
由前面二项分布，当n趋于无穷大，p又趋于0时，可以由二项分布推导出泊松分布。

3.1)泊松分布第一种：单位时间内发生的次数是常数，事件按固定的时间频率发生
为什么具有单位时间内平均发生次数特点的事件可以看做泊松分布？、
理解方式：可以将”单位时间“无限分割，这样n等分就无限多，每个等分就无限小，无限小的时间事件发生的概率趋向于0，于是这就是一个{n→∞,p→0n\to\infty, p\to0n→∞,p→0}
的问题，同时，n*p=单位时间平均发生次数=λ\lambdaλ

例如，某医院平均每小时出生3个婴儿，接下来1小时，至少出生2个婴儿的概率是多少？

设随机变量为X
P {X=k} =(λt)kk!e−λt\frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t}k!(λt)ke−λt, k=0,1,2,…
其中λ\lambdaλ表示单位时间内，发生结果的平均次数。
X为随机变量，k表示t时间内发生结果的次数。

所以上面公式的意思就是：已知单位时间内，
发生结果的平均次数为λ\lambdaλ（如每小时出生3个婴儿），
求t时间内（t小时内），发生k次结果的概率（出生k个婴儿的概率）。

随机变量X代表出生婴儿的个数，P {X=k} 代表出生k个婴儿的概率，
λ\lambdaλ为已知数，代表平均单位时间出生婴儿的个数。
求t时间内出生k个婴儿的概率：P {X=k} ，
直观理解，当然是单位时间出生λ\lambdaλ个婴儿的概率最大。

t是单位时间的倍数，如果t取1，公式就变成：
P {X=k} =(λ)kk!e−λ\frac{(\lambda )^{k} }{k!} e^{-\lambda }k!(λ)ke−λ, k=0,1,2,…

称X为服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，记为 X~$\pi (\lambda ) $ ，或者 X~$P(\lambda ) $

[例题3.1] - 某医院平均每小时出生3个婴儿，
1)) 接下来2小时，一个婴儿都不出生的概率是多少？
2)) 接下来1小时，至少出生2个婴儿的概率是多少？
3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
解：
1)) 满足事件按固定时间频率发生的条件。
P {X=k} =(λt)kk!e−λt\frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t}k!(λt)ke−λt, k=0,1,2,…
接下来2小时：t=2
λ\lambdaλ=发生频率=3,
一个婴儿都不出生：k=0,
P {X=0,t=2} =(3∗2)00!e−3∗2\frac{(3*2 )^{0} }{0!} e^{-3*2}0!(3∗2)0e−3∗2 = e−6≈e^{-6} \approxe−6≈ 0.0025 = 0.25% ;
所以说，接下来2小时，一个婴儿都不出生的概率不到1%；

2)) 接下来1小时：t=1
λ\lambdaλ=发生频率=3,
P{X>=2,t=1}=1-P{X=0,t=1}-P{X=1,t=1};

P{X=0,t=1} =(3∗1)00!e−3∗1\frac{(3* 1)^{0} }{0!} e^{-3* 1}0!(3∗1)0e−3∗1 = e−3e^{-3}e−3;
P{X=1,t=1} =(3∗1)11!e−3∗1\frac{(3* 1)^{1} }{1!} e^{-3* 1}1!(3∗1)1e−3∗1 = 3e−33e^{-3}3e−3;
P{X>=2,t=1}=1-P{X=0,t=1}-P{X=1,t=1} = 1−e−3−3e3=1−4∗e−31-e^{-3}-3e^{3} =1 - 4*e^{-3}1−e−3−3e3=1−4∗e−3
≈0.8009≈80\approx 0.8009 \approx 80%≈0.8009≈80
所以说接下来1小时，很大概率至少出生2个婴儿。因为平均每小时出生3个婴儿，因此，接下来1小时里，最有可能发生的概率就是平均概率（就等于λ\lambdaλ），也印证了后面一个问题：在泊松分布中，k取λ\lambdaλ时，P{X=k}有最大值。

3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
有婴儿出生的概率=有1个到无限个的概率，用它的反面来计算，
有1个到无限个的概率 = 1 - 有0个出生的概率
P{X>=1} = 1 - P{X=0}
因为t的单位是小时，15分钟换算成小时=0.25小时，30分钟换算成小时=0.5小时
P{X=0,t=0.25} = (3∗0.25)00!e−3∗0.25\frac{(3* 0.25)^{0} }{0!} e^{-3* 0.25}0!(3∗0.25)0e−3∗0.25 = e−3∗0.25e^{-3* 0.25}e−3∗0.25 ;
P{X=0,t=0.50} = (3∗0.50)00!e−3∗0.50\frac{(3* 0.50)^{0} }{0!} e^{-3* 0.50}0!(3∗0.50)0e−3∗0.50 = e−3∗0.50e^{-3* 0.50}e−3∗0.50 ;
P{X>=1,t=0.25} = 1 - P{X=0,t=0.25} = 1 - e−0.75e^{-0.75}e−0.75 ;
P{X>=1,t=0.50} = 1 - P{X=0,t=0.50} = 1 - e−1.5e^{-1.5}e−1.5 ;
接下来的15到30分钟的时间段的概率=Px
=P(X>=1,t=0.5) - P(X>=1,t=0.25) = e−0.75−e−1.5e^{-0.75} - e^{-1.5}e−0.75−e−1.5 = 0.2492%

3.2)泊松分布第二种：大数据样本，样本总数N很大，每个个体发生的概率p很小，N*p是一个常数，等于一段时间内平均总体发生次数

N*p = λ\lambdaλ，N是个体数目，样本总数，p是每个个体发生的概率，每个个体发生的概率很小，比如机器故障，汽车路过路口时发生故障，λ\lambdaλ就是一定时间内发生的总平均概率。

例如，交通路口，高峰时段有1000辆车路过路口，每辆车出故障的概率为0.001 。

这些类型的实例是n很大，p很小，n*p等于一个常数，因此可以用泊松分布。

P {X=k} =(λ)kk!e−λ\frac{(\lambda )^{k} }{k!} e^{-\lambda }k!(λ)ke−λ, k=0,1,2,…
称X为服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，记为 X~$\pi (\lambda ) $ ，或者 X~$P(\lambda ) $

[例题3.2] 某交通路口，高峰时段有1000辆车路过路口，每辆车出故障的概率为0.0001，
1)) 求发生事故的概率分布。
2)) 求某段时间内同时发生两次以上事故的概率是多少？

解：
1)) 此题 n =1000, p=0.0001, np=0.1
符合n很大，p趋于0，np=λ\lambdaλ ,所以X服从泊松分布
发生事故的概率分布律为
P{X=k} = λkk!∗e−λ\frac{\lambda^k}{k!} * e^{-\lambda}k!λk∗e−λ = 0.1kk!∗e−0.1\frac{0.1^k}{k!} * e^{-0.1}k!0.1k∗e−0.1

2)) 某一段时间内发生两次以上的事故的概率，为两次到无限次的概率之和，
用减去0次和1次计算。
P{X>=2}=1-P{X=0}-P{X=1}
= 1 - 0.100!∗e−0.1\frac{0.1^0}{0!} * e^{-0.1}0!0.10∗e−0.1 -0.111!∗e−0.1\frac{0.1^1}{1!} * e^{-0.1}1!0.11∗e−0.1
= 1 - 1.1∗e0.11.1*e^0.11.1∗e0.1 = 0.0045

3.3）总结泊松分布适用情形，泊松分布的特征
泊松分布可看作是单位时间、单位面积或单位容积中颗粒数或某罕见事件发生数的概率分布

泊松分布的特征，见【概率论与数理统计.2.随机变量。应用】-- 泊松分布的特征与应用

泊松分布的图形示意

由图形看出，泊松分布的特征：
1))泊松分布的图形只取决于平均数λ\lambdaλ
2))当λ\lambdaλ很小时，图形是很偏的，但当λ\lambdaλ增大时，图形逐渐趋向正态，当λ\lambdaλ=20时，泊松分布接近正态，当λ\lambdaλ>50时，可以认为是正态分布。
3))由泊松分布的图形示例，可以看得出来，k值在λ\lambdaλ附近时，概率最大，
即k=λk=\lambdak=λ，P{X=k}等于峰值**

3.4 )泊松分布公式与自然数的定义 e
参考前面博文【基础数学】–对自然数e的理解，e的证明，e的计算

exe^{x}ex = ∑i=0∞(x)ii!\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(x)^{i}}{i!}∑i=0∞i!(x)i
exe^{x}ex = 1+x+(x)22!+(x)33!+...+(x)n1n!\frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!} + ... +(x)^{n}\frac{1}{n!}2!(x)2+3!(x)3+...+(x)nn!1
===
近似计算（e<4）的情况，e的指数越大，后面的项越大，越需要多项展开）：
exe^{x}ex = 1+x+$\frac{(x)^{2}{2}+\frac{(x)}3}{6} + \frac{(x)^4}{24} +\frac{(x)^5}{120} $

=====
思考问题：
exe^{x}ex的泰勒级数展开多项式中，哪一项的值最大？
答案是：x等于多少就是哪项值最大，恰好第x项的值最大。
可以参考前面博文对自然数e的理解，e的证明，e的计算（基础）
物理意义：单位时间内事件发生的次数最大可能性就是平均概率。
===
比如x=1，第一项最大 x=1。
x=2: 第一项及第二项都是最大(x)22=222=2\frac{(x)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=22(x)2=222=2；
x=3，第三项最大(x)36=336\frac{(x)^3}{6}=\frac{3^3}{6}6(x)3=633=4.73；
x=4，第四项最大(x)424=4424=25624\frac{(x)^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24}24(x)4=2444=24256=12；
以此类推…

可以看到 λkk!\frac{\lambda^{k} }{k!}k!λk 其实就是 eλe^{\lambda}eλ 的第k项。
也就是等于说，P{X=k}的概率，就是eλe^{\lambda}eλ 的第k项的占比例。

泊松分布，P{X=k}的值，就是eλe^{\lambda}eλ 的第k项的占比例, 那么 k=?时，P{X=k}最大？从定义上说，λ{\lambda}λ 表示单位时间发生次数的平均数，或者表示 N*p 总共发生故障数。
从直观上理解，单位时间最有可能发生的次数当然是平均数，也就是 k = λ{\lambda}λ 时， P{X=λ{\lambda}λ} 取得最大值。

4.指数分布
网上所介绍的指数分布的引出，也是从泊松分布引申而来的，可以看做是泊松分布的特殊形态，就是令X=0，事件一个都不发生，求P{N(t)}的分布
即： "求事件发生的时间间隔”
P{X=0, N(t)} = (λt)00!∗e−λt=e−λt\frac{(\lambda t)^0}{0!} * e^{-\lambda t} = e^{-\lambda t}0!(λt)0∗e−λt=e−λt

”在t 时间内出现一个以上的概率“
P{X>0, N(t)} = $1 - e^{-\lambda t} $;

比如前面的[例题3.1] ，关注第3))个问题，
3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
P{X>=1, 0.25< t<= 0.50} = (1-e−1.5e^{-1.5}e−1.5) - (1 - e−0.7.5e^{-0.7.5}e−0.7.5) =
e−0.7.5e^{-0.7.5}e−0.7.5 - e−1.5e^{-1.5}e−1.5 = 0.2492%

泊松分布关注的问题是：t 时间内，发生k次的概率分布
P{X=k, N(t)} = (λt)kk!∗e−λt\frac{(\lambda t)^k}{k!} * e^{-\lambda t}k!(λt)k∗e−λt
===
指数分布是泊松分布X=0的特殊项，关注的问题是： 事件发生的时间间隔
P{X=0, N(t)} = (λt)00!∗e−λt=e−λt\frac{(\lambda t)^0}{0!} * e^{-\lambda t} = e^{-\lambda t}0!(λt)0∗e−λt=e−λt
或者：在t 时间内，出现一个以上的概率
P{X>0, N(t)} = $1 - e^{-\lambda t} $;

5.几何分布
几何分布也是从二项分布引申而来。实际背景是重复独立试验下首次成功的概率（n重伯努利试验，首次成功的 n 值）
举例：射击n次，首次射中时的n值。
有放回地抽取样品，首次抽到次品时的抽取次数。

几何分布公式（事件首次发生的n值分布）：

P{X=n} = p(1−p)n−1p(1-p)^{n-1}p(1−p)n−1 ；

纪为 X~G§

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