1.前言（如何实现差分隐私）

差分隐私是通过随机化的方式来干扰正常的查询，或是对数据集做一些处理. 那么最常规的干扰查询/处理数据的手法，就是加噪音。

一般情况下，数据库的查询可分为两类：数值查询和非数值查询。

1.数值查询：小明的高数考了多少分？

2.非数值查询：小明分最高的是哪一门课？

应对这两种查询，分别有拉普拉斯机制和指数机制。

2.指数机制

对于非数值查询，需要用指数机制来干扰

在拉普拉斯机制中，我们首先对数据库进行查询，然后在查询结果之上添加一定的噪声使其满足差分隐私的要求。因此，返回的数据通常只是“接近准确”的。那么差分隐私能否允许我们得到真实的结果（实用程序）呢？在这种情况下，指数机制应运而生。

综上：指数机制适用于回答具有任意实用程序和任意非数字范围查询

指数机制是为我们希望选择“最佳”响应的情况而设计的，但直接在计算数量上添加噪声可能完全破坏其价值。例如在拍卖中设定价格，其目标是最大化收益，如果在最优价格上添加少量正噪声（为了保护投标的隐私）可能会大大减少由此产生的收入。为了理解接下来我们举个例子：

假设我们有最够充足的南瓜，想要卖给Alice，Bob，Charlie。他们每个人出价每个南瓜1元或者2元，我们想要定下价格，让我们受益最大。假设我们有一个出价的数据表：

如果我们定价为1元，这个价格在每个人的预算内，那我们能够获得3元（1+1+1）；如果我们定价2元，那只有Charlie能买得起，那我们能够获得2元。我们用效用函数（utility function）描述以上信息：

效用函数的值取决于出价表和定价。如果我们想最大化效用，我们应该定价1元。

但是这个定价可能会暴露隐私，假如我们知道Alice比较穷，只出得起1元，Charlie比较富，能出2元，但是不知道Bob的出价情况。但是通过最大化的收益和定价就能推断出Bob的出价。指数机制就能够保证出价者的隐私。

效用函数：

效用函数 $\mu$ ： $\mathbb{N}^{\chi }\times R\rightarrow \mathbb{R}$

效用函数的映射关系为：数据库 $D$ $\times$ 不同情况 $R$ （类比上面的price） $\rightarrow$ 效用得分 $\mathbb{R}$ （类比上面utility）

在上面的例子，查询 $f$ 是“南瓜的单价是多少？”，可能的定价 $R$ 是 $\left \{ \$ 1,\$ 2 \right \}$ ，效用得分是收益，对于出价数据库 $D$ ， $\mu (D,\$ 1)=3$ ， $\mu (D,\$ 2)=2$

效用函数的全局敏感度和局部敏感度：

效用函数 $\mu$ 的全局敏感度：

对于任意的数据库D和D'效用得分差距的上限，也就是对于所有相邻数据集，某一数据库 $D$ ，其相对拥有最大的效用函数值a，某一数据库 $D'$ 其相对拥有最小的效用函数值b，则效用函数 $\mu$ 的全局敏感度 $\Delta \mu$ = a-b

效用函数 $\mu$ 的局部敏感度：

对于一个已知的数据库 $D$ ，我们要对 $D$ 运用指数机制进行差分隐私保护。那么对于数据库 $D$ 和任意与 $D$ 相邻的数据库 $D'$ 效用得分差距的上限，也就是数据库 $D$ 的最大效用函数值a和最小效用函数值b，某一与 $D$ 相邻的数据库 $D_{1}'$ 有最大效用函数值c，某一与 $D$ 相邻的数据库 $D_{2}'$ 有最小效用函数值d，则效用函数 $\mu$ 的局部敏感度 $\Delta \mu$ 为|a-d|和|b-c|中的较大值

指数机制：

设随机化算法 $M$ 输入为数据集 $D$ ，输出为一个实体对象 $r\in R$ ， $\mu (D,R)$ 为可用性函数， $\Delta \mu$ 为函数 $\mu (D,R)$ 的敏感度，若以正比于 $exp(\frac{\epsilon \cdot \mu (D,r)}{2\Delta \mu })$ 的概率从输入中选择并输出 $r$ ，则算法 $M$ 是满足 $\epsilon$ - 差分隐私的

直接的说就是，以更高的概率选择效用得分更高的输出

应用案例：

假设某基地正在举办一场体育比赛，可以选择的项目有{足球，排球，篮球，网球}四个项目，参与者们对这些项目进行投票，现在要确定一个项目是的整个决策过程满足 $\epsilon$ - 差分隐私，以每个选项的得票数量作为可用性函数，在给定隐私预算情况下，可以计算选择各个项目的输出概率：

上述案例中，当 $\epsilon$ =0时，提供完全的隐私保护但数据可用性为0，随着 $\epsilon$ 大，选择出期望结果的可能性也越大。

3.指数机制满足ε-差分隐私定义

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