信号与系统-1-δ函数尺度运算的证明

事先给出一则广义函数的性质：若∫−∞+∞g1(t)φ(t)=∫−∞+∞g2(t)φ(t)\int_{-\infty}^{+\infty}g_1(t)\varphi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}g_2(t)\varphi(t)∫−∞+∞g1(t)φ(t)=∫−∞+∞g2(t)φ(t)，则有g1(t)=g2(t)g_1(t)=g_2(t)g1(t)=g2(t)成立
尺度运算 δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta(at)=\dfrac{1}{|a|}\delta(t)δ(at)=∣a∣1δ(t) 的证明:
已知∫−∞+∞f(t)δ(t)dt=f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0)∫−∞+∞f(t)δ(t)dt=f(0)
∫−∞+∞f(t)δ(at)dt=1a∫−∞+∞f(t)δ(at)d(at)=1af(0)∫−∞+∞δ(at)d(at)=1af(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(at)dt &= \dfrac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(at)d(at) \\ &=\dfrac{1}{a}f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(at)d(at) \\ &=\dfrac{1}{a}f(0) \end{aligned}∫−∞+∞f(t)δ(at)dt=a1∫−∞+∞f(t)δ(at)d(at)=a1f(0)∫−∞+∞δ(at)d(at)=a1f(0)
因此有∫−∞+∞f(t)δ(at)dt=1a∫−∞+∞f(t)δ(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(at)dt=\dfrac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt∫−∞+∞f(t)δ(at)dt=a1∫−∞+∞f(t)δ(t)dt
由广义函数的性质可得：δ(at)=1aδ(t)\delta(at)=\dfrac{1}{a}\delta(t)δ(at)=a1δ(t)
对于绝对值的问题，暂时还未解决

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