用母函数的思路解释母函数的代码

该文章建立在你已经看过母函数的相关数学知识的基础上，如果没有看过，建议看一下 hdu 论坛的母函数课件，传送门：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=3853

用一个最简单的例子说明代码：

硬币面值有1元、5元、10元、25元、50元，一共5种，对于一个钱数 money，可以有多少中兑现方法？

很容易地构造母函数

G(x) = (x^0 + x^1 + x^2 + …) * (x^0 + x^5 + x^10 + …) * (x^0 + x^10 + x^20 + …)

* (x^0 + x^25 + x^50 + x^75 + …) * (x^0 + x^50 + x^100 + x^150 + …)

数学上的思路就拆开这个多项式因式，看看 x^money 的系数是多少。所以，编程的关键是如何实现拆分？

思路是先把前面两个因式拆开，得到一个因式，代替第二个因式；然后用第二个因式（求出来的因式）和第三个因式相乘，代替第三个因式；递归计算到最后一个因式，得出结果。

由于便于编程的实现，我们在 G(x) 前面加多一个因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )，这个因式为1，所以并不改变母函数的值。把已经计算出来的因式的系数存放到一个数组 a 里面，把当前因式与下一个因式乘起来的因式的系数放到另外一个数组 b 里面。两个因式乘完了，就把 b 数组里面的数据放到 a 数组里面，把 b 数组清空，重复刚才的步骤，直到最后一个因式都乘进去了，才结束。此时，a 数据里面存放的就是拆分开来的多项式的系数。

代码如下：

#define M 500int a[M];
int b[M];void GenerationFunction()
{int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};memset(a, 0, sizeof(a));memset(b, 0, sizeof(b));a[0] = 1; // 手动添加的一个多项式因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )for(int i = 0; i < 5; i ++) // i 指向第几个多项式因式（从0开始算）{for(int j = 0; j < M; j ++){   // j 指向已经算出来的因式的指数，a[j] 存放的是指数为 j 的项的系数for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i]){   // k 代表下一个因式的指数，因式的指数是隔 cent[i] 递增的。// 另外，因式中，指数为 k 的项的系数为 1b[j+k] += a[j]; // 对于 a[j] * x^j * x^k = a[j] * x^(j+k) // 就把 x^(j+k) 的系数 a[j] 加到 存放当前答案的数组 b 里面}}for(int j = 0; j < M; j ++){ // 把数组 b 元素滚动到 数组 a 去，以便递归进行乘法运算；另外，清空数组 ba[j] = b[j];b[j] = 0;}}
}

显而易见，a 数组和 b 数据是滚动操作的，可以用一个二维数组，外加一个滚动变量简单操作：

#define M 500int ans[M];
int f = 0;void GenerationFunction()
{int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};memset(ans, 0, sizeof(ans));ans[0][0] = 1; // 初始化第一个多项式因式for(int i = 0; i < 5; i ++){for(int j = 0; j < M; j ++){for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i]){ans[1-f][j+k] += ans[f][j];}}memset(ans[f], 0, sizeof(ans[f])); // 清空当前数组，留待下一个循环用f = 1 - f; // 修改滚动变量}
}

看了两段代码。看过背包的童鞋一般都联想到背包去了。

对于要求的 money ，理解为背包的大小，每种硬币的面值理解为货物的大小，a[i] 就是选择到当前这个硬币，里面放 i 大小货物的方法数。如果题目中硬币无限个，就是完全背包，如果有些限制条件，就是修改版的完全背包。循环到最后，a[money] 就是选择完全部硬币，背包中放 money 大小货物的方法数，也就是把 money 元兑换成各种硬币的方法数。

当然，用母函数的思路理解代码，也是可以的。这样子的话，基本可以解决 hdu 那个课件里面的题目，除了 hdu 2069 Coin Change。

Coin Change 题目中，有一个要求，就是每一种兑换的方式，里面的硬币数量不超过 1000 个。用母函数怎么解决这个问题？参考背包的方法——加多一维！代码如下：

#define M 300int ans[2][M][101];
int f = 0;void GenerationFunction()
{int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};ans[0][0][0] = 1; // 初始化for(int i = 0; i < 5; i ++){for(int j = 0; j < M; j ++){for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i]){for(int g = 0; g+k/cent[i] < 101; g ++){// ans[][j][g] 表示放 j 大小的货物，并且用 g 个物品放，的方法数ans[1-f][j+k][g+k/cent[i]] += ans[f][j][g];}}}memset(ans[f], 0, sizeof(ans[f]));f = 1 - f;}
}

看了几个代码，基本上，用母函数的思路敲出来的代码和用背包敲出来代码是基本一样的。这意味着母函数的思路其实是背包思路的一种。如果童鞋对于背包熟的话，基本可以很快地消化母函数的代码，当然，不熟悉背包的话，就像我一样，用母函数的思路敲代码。效果是一样的。

最后，把 hdu 那个课件最后一页的练习题粘到这里来：1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152。

本文转自：http://www.cnblogs.com/lijunle/archive/2010/09/04/1817764.html

转载于:https://www.cnblogs.com/Chinese-Coder-Clarence/articles/2154581.html

用母函数的思路解释母函数的代码相关推荐

D. New Year and the Permutation Concatenation 题解翻译+思路解释（官方为主，我为补充)+普通人能看得懂的代码（我照着思路写的哈哈哈）
传送门:http://codeforces.com/contest/1091/problem/D There are two types of subarrays with length n: 有两种 ...
【2022年华为杯数学建模E题赛后总结加思路详细介绍配代码----10月11号写的总结】
提示:下文将介绍2022年华为杯数学建模E题赛后总结加思路详细介绍配代码傻逼队友,傻逼队友,傻逼队友一定要看好人在进行组队,这是劝告. 这里有几点总结进行描述: 第一,图一定要尽量多,对图的解释要多 ...
微信公众号网页授权思路解析及具体代码
微信公众号网页授权思路解析及具体代码微信开发文档实现方式也是两种: 1.静默授权登录授权登录以snsapi_base为scope发起的网页授权,是用来获取进入页面的用户的openid的,并且是静 ...
2023美国大学生数学建模竞赛C题思路解析（含代码+数据可视化）
以下为2023美国大学生数学建模竞赛C题思路解析(含代码+数据可视化) 规则: 猜词,字母猜对,位置不对为黄色,位置对为绿色,两者皆不对为灰色. 困难模式下的要求:对于猜对的字母(绿色和灰色),下一步 ...
【母函数|生成函数】学习母函数
参考文献(尊重原创): 二项式定理递归和母函数母函数(对于初学者的最容易理解的) 例题: 普通母函数: 找单词题解摆花 ...
java 地铁换乘算法,地铁换乘-一道题目，求思路，不求代码,该怎么处理
地铁换乘---一道题目,求思路,不求代码 1．地铁换乘为解决交通难题,某城市修建了若干条交错的地铁线路,线路名及其所属站名如stations.txt所示. 线1 苹果园 .... 四惠东线2 西直 ...
全国计算机等级考试（2019年版python）用自己的思路编写课后习题代码（6-8章）
本来想把后面五章的代码一块放进来的,但是吸收了发布前面五章代码的经验,这次在代码的基础上又增加了注释和代码验证结果部分,所以整体看起来6-8章的代码会比较多,但是如果除去这些非必要代码和说明的部分,其 ...
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码
2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码题目核心方法: 问题一问题二问题三和问题四答案如下: 题目核心方法: 热传导有限差分法遍历法问题一建立焊接区域中心温度变化规律模型, ...
全国计算机等级考试（2019年版python）用自己的思路编写课后习题代码（9-10章）
完结篇啦! 一个阶段的结束象征着另一个阶段的重新开始,未来还要继续加油呀. 下面贴上最后两章的编程题代码,如有错误欢迎指正,不胜感激. 第九章 python标准库概览 #1 使用turtle绘制一个蜂 ...

用母函数的思路解释母函数的代码

用母函数的思路解释母函数的代码相关推荐

最新文章

热门文章