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1. Sigmoid函数

函数也叫

函数，将输入值压缩到

区间之中，其函数表达式为：

函数图像如图所示：

其求导之后的表达式为：

其梯度的导数图像如：

对于

函数，其优点为：

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  函数的输出在
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  之间，我们通常把它拿来作为一个二分类的方案。其输出范围有限，可以用作输出层,优化稳定。

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  函数是一个连续函数，方便后续求导。

其缺点为：

• 从函数的导函数可以得到，其值范围为(0, 0.25)，存在梯度消失的问题。

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  函数不是一个零均值的函数，导致后一层的神经元将得到上一层非
  
  
  
  
  
  均值的信号作为输入，从而会对梯度产生影响。

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  函数是一个指数函数的激活函数，我们把每次基本运算当作一次
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  (Floating Point Operations Per Second)，则
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  函数包括求负号，指数运算，加法与除法等4
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  的运算量，预算量较大。而如
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ，为
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  。

对于非互斥的多标签分类任务，且我们需要输出多个类别。如一张图我们需要输出是否是男人，是否戴了眼镜，我们可以采用Sigmoid函数来输出最后的结果。 如最后

的输出为[0.01, 0.02, 0.41, 0.62, 0.3, 0.18, 0.5, 0.42, 0.06, 0.81]，我们通过设置一个概率阈值，比如

，如果概率值大于

，则判定类别符合，那么该输入样本则会被判定为类别

、类别

、类别

、类别

及类别

，即一个样本具有多个标签。

2. Softmax函数

函数又称归一化指数函数，函数表达式为：

其中，

。

。如网络输出为

，则经过

层之后，输出为。

对于

，往往我们会在面试的时候，需要手写

函数，这里给出一个参考版本。

import numpy as np
def softmax(f):# 为了防止数值溢出，我们将数值进行下处理# f： 输入值f -= np.max(f) # f becomes [-666, -333, 0]return np.exp(f) / np.sum(np.exp(f))

针对

函数的反向传播，这里给出手撕反传的推导过程，主要是分两种情况：

(1)当

时

(2)当

时

综上所述:

因此，不失一般性，扩展成矩阵形式则为：

当Y的shape为

时)。后面在下一题中，我们会将

与

进行结合，再来推导前向与反向。

因此，当我们的任务是一个互斥的多类别分类任务（如imagenet分类），网络只能输出一个正确答案，我们可以用

函数处理各个原始的输出值。从公式中，我们可以看到

函数的分母是综合到了所有类别的信息。通常我们也会把

函数的输出，这主要是由于

函数先拉大了输入向量元素之间的差异（通过指数函数），然后才归一化为一个概率分布，在应用到分类问题时，它使得各个类别的概率差异比较显著，最大值产生的概率更接近

，这样输出分布的形式更接近真实分布，从而当作网络的置信度。

对于

函数而言，我们可以从不同的角度来理解它：

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  是一个暴力的找最大值的过程，最后的输出是以一个
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  形式，将最大值的位置设置为
  
  
  
  
  
  ，其余为
  
  
  
  
  
  。这样的话，则在网络训练中，是不可导的，我们采用
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  看作是
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  的平滑近似，从而可以使得网络可导。

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  将输入向量归一化映射到一个类别概率分布，即
  
  
  
  
  
  个类别上的概率分布，因此我们常将
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  放到
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  的最后一层。

• 从概率图角度，
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  可以理解为一个概率无向图上的联合概率。

3. 联系

对于二分类任务而言，二者都可以达到目标，在理论上，没有什么区别。

举个栗子，如现在是二分类(

), 经过

函数之后：

对于

函数，则为：

对于

,我们可以使用一个

来进行替换，则替换成了：

该表达式与

相同，理论上是相同的。

4. 区别

在我们进行二分类任务时，当我们使用

函数，最后一层全连接层的神经元个数是

，神经网络的输出经过它的转换，可以将数值压缩到

之间，得到的结果可以理解成分类成目标类别的概率

，而不分类到该类别的概率是

，这也是典型的两点分布的形式。

而使用

函数则需要是两个神经元，一个是表示前景类的分类概率，另一个是背景类。此时，

函数也就退化成了二项分布。

更简单一点理解，

函数是对两个类别进行建模，其两个类别的概率之和是

。而

函数是对于一个类别的建模，另一个类别可以通过1来相减得到。

得到的结果是“分到正确类别的概率和未分到正确类别的概率”，

得到的是“分到正确类别的概率和分到错误类别的概率”。

5. 引用

1. https://blog.csdn.net/uncle_ll/article/details/82778750

2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/356976844

3. https://zhuanlan.zhihu.com/p/37740860

4. https://blog.csdn.net/wujunlei1595848/article/details/90741963

5. https://blog.csdn.net/wujunlei1595848/article/details/90741963

- END -

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