事实上，不仅仅是 JS，在其他采用 IEEE754 浮点数标准的语言中，0.1 + 0.2 都不会等于 0.3，但是 0.2 + 0.3 却等于 0.5，这是为何？想必这类问题也困扰着不少程序员。

IEEE754 浮点数的演算

我们知道，科学计数法中 30000 可以写成 3x104，以 10 为底数 4 为指数的科学计数法。在 IEEE754 标准中是比较类似的，只不过它是二进制数，底数也为 2。

IEEE 754 中最常用的浮点数值表示法是：单精确度(32位)和双精确度(64位)，JavaScript 采用的是后者。举个例子，十进制数 150，使用双精度浮点数表示法，表示如下：

// D 表示十进制，B 表示二进制

150D =

2^

8 *

0.1001011B

// 后面省略了 46 个 0

可以通过短除法计算：

150 余数位

÷ 2

---------------

75 0

÷ 2

---------------

37 1

÷ 2

---------------

18 1

÷ 2

---------------

9 0

÷ 2

---------------

4 1

÷ 2

---------------

2 0

÷ 2

---------------

1 0

÷ 2

---------------

0 1

最后一个余数为高位值，于是拿到 150 对应的二进制数位 1001011，也就等于 2^8 * 0.1001011。

上面是整数的表示法，而小数的表示法采用的是乘二取整，如 0.1，它的二进制表示为：

// (0011) 表示循环

0.1D =

2^

-3 *

0.110011(

0011)

其演算方法如下：

0.1 整数位

× 2

---------------

0.2 0

× 2

---------------

0.4 0 * ↓

× 2

---------------

0.8 0

× 2

---------------

1.6 1

× 2

---------------

1.2 1

× 2

---------------

0.4 0 * ↑

(0011循环)

与整数不同的是，第一个计算得到的整数位为最高位，故 0.1 对应的二进制数为 0.000110011(0011)，也就等于 2^-3 0.1100110011(0011)。

如果一个数既包含整数部分，又包含小数部分，其表示法的计算，需要分拆为整数和小数两部分，然后相加得到结果。

IEEE754 浮点数精度丢失

IEEE754 浮点数表示法的数据格式如下图：

// 下图采用大端表示，高位在左，低位在右。

sign exponent fraction

+---+----------+---------------------+

|

1 |

2~

12 |

13~

64 |

+---+----------+---------------------+

符号位：高位第 1 位，如图 sign 部分

指数位：高位第 2~12 位，如图 exponent 部分

尾数位：剩下的 fraction 部分

从上面小数的乘二取整演算中可以看到，有些小数对应的二进制数是无法写全的，比如 0.1，而 fraction 尾数部分有要求，只允许 52 位，超过部分进一舍零。

那么，我们就可以得到：

0.1D

= 2^-4 * 1.10011(0011)B

= 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)0011B // ← 最后一位为 1，进 1

= 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)010B

揭秘 0.1 + 0.2

根据上面我们了解到的知识，我们可以很容易算出这些值：

0.1D =

2^

-4 *

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B

0.2D =

2^

-3 *

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B

0.3D =

2^

-2 *

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011B

0.1 + 0.2 时，先将两者指数统一为 -3，故 0.1 小数点向左移一位，于是：

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101B

+ 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B

------------------------------------------------------------

= 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

得到的二进制数为：

10

.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

小数点往左移一位使得整数部分为 1，此时尾数部分为 53 位，进一舍零，于是得到最后的值是：

2^

-2 *

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100

这个值转化成真值，结果为：0.30000000000000004。那么 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004 的推演到这里就结束了。

相关验证

毕竟咱们手动计算可能存在笔误，可以通过一个叫做 double-bits 的 npm 进行推演，我写了一个小 demo，感兴趣的可以玩耍下：

const db =

require(

'double-bits');

const pad =

require(

'pad');

// [lo, hi] where lo is a 32 bit integer and hi is a 20 bit integer.

const base2Str =

(n) => {

const f = db.fraction(n);

const s = db.sign(n) ?

'-' :

'';

const e =

`2^${db.exponent(n) + 1}`;

const t =

`0.${pad(f[1].toString(2), 20, '0')}${pad(f[0].toString(2), 32, '0')}`;

return

`${s}${e} * ${t}`;

};

console.log(base2Str(

0.1).toString(

2));

console.log(base2Str(

0.2).toString(

2));

console.log(base2Str(

0.3).toString(

2));

console.log(base2Str(

1.2).toString(

2));

上面输出结果为：

2^

-3 *

0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010

2^

-2 *

0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010

2^

-1 *

0.10011001100110011001111001100110011001100110011001100

2^

1 *

0.10011001100110011001111001100110011001100110011001100

最后

为了按照计算机的思维，IEEE754 的标准来计算 0.1 + 0.2，又重新复习了一遍大学计算机基础的知识，原码、反码、补码，以及除二取余、乘二取整计算法，最后能够推演出来，也算是一个胜利吧~