通过IP地址来查找IP归属地的功能，不知道你有没有用过？没用过也没关系，你现在可以打开百度，在搜索框里随便输一个IP地址，就会看到它的归属地。

这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的IP地址库来实现的。地址库中包括IP地址范围和归属地的对应关系。

当我们想要查询202.102.133.12这个IP地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个IP地址落在[202.102.133.0,202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个IP地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市
[202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

现在我的问题是，在庞大的地址库中逐一比对IP地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有12万条这样的IP区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？

是不是觉得比较难？不要紧，等学完今天的内容，你就会发现这个问题其实很简单。

上一节我讲了二分查找的原理，并且介绍了最简单的一种二分查找的代码实现。今天我们来讲几种二分查找的变形问题。

不知道你有没有听过这样一个说法：“十个二分九个错”二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有BUG的二分查找并不容易。

唐乃德.克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第3卷《排序和查找》中说到：尽管第一个二分查找算法于1946年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到1962年才出现。

你可能会说，我们上一节学的二分查找的代码实现并不难写啊。那是因为上一节讲的只是二分查找中最简单的一种情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没那么好写了。

二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其他的你可以借助我们今天讲的思路自己来分析。

4个常见的二分查找变形问题

1，查找第一个等于给定值的元素

2，查找最后一个等于给定值的元素

3，查找第一个大于等于给定值的元素

4，查找最后一个小于等于给定值的元素

需要特别说明一点，为了简化讲解，今天的内容，我都以数据是从小到大排列为前提，如果你要处理的数据是从大到小排列，解决思路也是一样的。同时，我希望你最好先自己动手试着写一下这4个变形问题，然后再看我的讲述，这样你就会对我说的“二分查找比较难写”有更加深的体会了。

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

上一节中的二分查找是最简单的一种，既有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合存在重复的数据，我们希望找到第一值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5],a[6],a[7]的值都等于8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。

如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。

尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素。因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一节的代码。

100个人写二分查找就会有100种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int search(int[] a, int n,int value)
{int low =0;int high = n-1;while(low <= high){int mid = low + ((high - low) >> 1)if(a[mid] >= value){high = mid -1;}else{low = mid +1;}}if(low < n && a[low] == value){ return low;}else{return -1;   }}

看完这个实现之后，你是不是觉得很不好理解？如果你只是死记硬背这个写法，我敢保证，过不了几天，你就会全忘光，再让你写，90%的可能会写错。所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解呢？

public int search(int[] a, int n,int value)
{int low =0;int high = n-1;while(low <= high){int mid = low + ((high - low) >> 1)if(a[mid] > value){high = mid - 1;}else if(a[mid] < value){low = mid + 1;}else{if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)){return mid;}else{high = mid - 1;}}return -1;}
}

我来稍微解释一下这段代码。a[mid]跟要查找的value的大小关系有三种情况：大于，小于，等于。对于a[mid] > value 的情况，我们需要更新high = mid-1;对于a[mid] < value的情况，我们需要更新low = mid +1。这两点都很多理解。那当a[mid] = value的时候应该如何处理呢？

如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。

我们重点看第11行代码。如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid -1 ]不等于value,那也说明就是我们要找第一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid -1]也等于value，那说明此时的a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新high = mid -1，因为要找的元素肯定出现在[low,mid-1]之间。

对比上面的两端代码，是不是下面那种更好理解？实际上，很多人都觉的变形的二分查找难写，主要原因是太追求第一种那样完美，简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码已读懂，没有bug，其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢？

如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一个，然后跟我写的对比一下。

public int search(int[] a, int n,int value)
{int low =0;int high = n-1;while(low <= high){int mid = low + ((high - low) >> 1)if(a[mid] > value){high = mid -1;}else if(a[mid] < value){low = mid +1;}else{if ((mid == n-1) || (a[mid + 1] != value)){return mid;}else{low = mid + 1;}}return -1;}}

我们还是重点看第11行代码。如果a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果a[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value,那也说明a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。

如果我们经过检查之后，发现a[mid]后面的一个元素a[mid +1]也等于value,那说明当前的这个a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新low = mid+1,因为要找的元素肯定出现在[mid+1,high]之间。

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6。

实际上，实现的思路跟前面的那两种问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。

public int search(int[] a, int n,int value)
{int low =0;int high = n-1;while(low <= high){int mid = low + ((high - low) >> 1)if(a[mid] >= value){if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)){return mid;}else{high = mid -1;}}else {low = mid +1;}return -1;}}

如果a[mid]小于要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1,high]之间，所以，我们更新low = mid+1。

对于a[mid]大于等于给定值value的情况，我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value，那a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第7行。

如果a[mid-1]也大于等于要查找的值value,那说明要查找的元素在[low,mid-1]之间，所以，我们讲high更新为mid-1。

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于7的元素就是6。是不是有点类似上面那一种？实际上，实现思路也是一样的。

有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。

public int search(int[] a, int n,int value)
{int low =0;int high = n-1;while(low <= high){int mid = low + ((high - low) >> 1)if(a[mid] >= value){if ((mid == n-1) || (a[mid + 1] != value)){return mid;}else{low = mid +1;}}else {high = mid -1;}return -1;}}

解答开篇

好了，现在我们回头来看开篇的问题：如何快速定位出一个IP归属地？

现在这个问题应该很简单了。如果IP区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以预处理这12万条数据，让其按照起始IP从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP地址可以转化为32位的整形数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后，这个问题就可以转化为我刚将的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个等于某个给定值的元素”。

当我们要查询某个IP归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始IP小于等于这个IP的IP区间 ，然后，检查这个IP是否在这个IP区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

内容小结

上一节我说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用处了吗？

实际上，上一节讲的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题，二分查找的优势更加明显。比如今天讲得到这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表，二叉树，就比较难实现了。

变体的二分查找算法写出来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生bug,这些容易出错的细节有：终止条件，区间上下界更新方法，返回值选择。所以今天的内容你最好能自己实现一遍，对锻炼编码能力，逻辑思维，写出bug free代码，会很有帮助。

参考文献

王争老师 《数据结构与算法之美》