CRC校验（循环冗余校验）

I 计算

直接上例子，已知：
多项式：x4+x+1，对应二进制：1 0011
把上述二进制数的 “有效位数 - 1” 称为 宽度(Width)，这里 Width=4

发送方：
需要发送的数据：0x33，对应二进制 11 0011
计算CRC:

0x33 << Width = 11 0011 0000
上述结果和 多项式10011 进行模2除法得到余数
11 0011 0000 % 1 0011 = 1010
这个1010就是CRC值

实际发送数据：数据+CRC= 11 0011 1010（即0x33A）
这个数据对多项式10011 进行模2除法得到余数一定是 0

接收方：
收到数据 ** **** ****,
直接对整个数据除以 多项式10011 （也是模2除法）
若余数 = 0，数据正确；若余数 != 0，数据不正确。
（因为一定有： 11 0011 1010 % 1 0011 = 0）

II 说明

模2除法不是普通除法
多项式x4+x+1怎么来的？嗯，用芯片手册规定的/或通用CRC模型的/或用大佬算出来的…不过多项式都符合：最高位和最低位都是1
实际使用会发现更"复杂",多了"好多"东西，什么INIT、REFIN、REFOUT、XOROUT等等。。。

III 。。。

POLY：多项式去除最高位1后的值，此例中多项式：x4+x+1，对应二进制：1 0011，那么其 POLY = 0011 = 0x03 （很多地方把POLY也叫多项式）

REFIN：原始数据是否颠倒
这个颠倒的意思是：以字节为最小单位，数据旋转180度，地位变高位，高位变地位，1 1101颠倒 = 1011 1000（不要忽略高位3个0），
1101 1000 0101 0011颠倒 = 0001 1011 1100 1010 （1个字节1个字节地颠倒）

INIT：对已经REFIN的原始数据，高Width位与INIT异或，此参数位数=Width，值全为0，或全为1，即原始数据的高Width位取反(^ 1) / 或不变(^ 0)。

REFOUT：CRC值输出前是否颠倒
这个颠倒的意思是：CRC值全部数据旋转180度，地位变高位，高位变地位，1101颠倒 = 1011，
1 0011颠倒 =1 1001

XOROUT：对已经REFOUT的CRC值，异或处理，( ^ XOROUT)，一般全为0或全为1，即取反/不变。

（注：一般REFIN和REFOUT同为true或同为false）

//****************************************************************************//
若REFIN、REFOUT都为true, INIT=0, XOROUT=0, 则CRC计算步骤变为（原数据data= 0x34 (即11 0100) ）：

data = REFIN颠倒(data) = 0010 1100
data = data<< Width = 0010 1100 0000
data和 多项式10011进行模2除法得到余数
0010 1100 0000 % 1 0011 = 1101
这个1101就是CRC值
CRC值 = REFOUT颠倒(CRC值) = 1011
CRC值 = CRC值^XOROUT = 1011 (和0异或是自己本身)
发送数据：data+CRC值=11 0100 1011 = 0x34B

//****************************************************************************//
若REFIN、REFOUT都为true, INIT=0xF, XOROUT=0xF, 则CRC计算步骤变为（原数据data= 0x34 (即11 0100) ）：

data = REFIN颠倒(data) = 0010 1100
data = (data高Width位) ^ INIT = 1101 1100
data = data<< Width = 1101 1100 0000
data和 多项式10011进行模2除法得到余数
1101 1100 0000 % 1 0011 = 1011
这个1011就是CRC值
CRC值 = REFOUT颠倒(CRC值) = 1101
CRC值 = CRC值^XOROUT = 0010 (和1异或就是取反)
发送数据：data+CRC值=11 0100 0010= 0x342

（当然，求CRC值的代码里面会被大佬的算法优化我这个菜鸟完全看不懂hhhhhh）

IV 原理

…

V 其它

模2除法在线计算器：https://www.23bei.com/tool-744.html.
CRC值在线计算器：http://www.ip33.com/crc.html.
CRC值在线计算器2：https://www.lammertbies.nl/comm/info/crc-calculation.

参考：
1.不要跑，CRC没这么难！（简单易懂的CRC原理阐述）.
2.（原创）CRC计算流程分析（RefIn，Init，RefOut，XorOut）.