【 HDU 1166】敌兵布阵树状数组从0到1

如果给你一个数组，让你求某个区间的和，你很自然会想到遍历一遍数组，复杂度是O(n),但是如果有多次询问呢，你也许会想到用前缀数组，通过O(n)的预处理，达到O(1)的查询，但是如果要更新某个元素的值呢，如果用前缀和的思想，每更新一个元素就会更新前缀数组,每次复杂度是O(n),如果有n次更改，复杂度为O(n^2)。有没有更快的呢，这时候树状数组就排上用场了，树状数组可以用来解决动态数组连续和的问题。

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree):是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

树状数组大致就长下面这个模样。

那么树状数组到底是怎么把修改和求和都做到O(log(n))呢

当我么求和的时候，c[1]=A[1],c[2]=c[1]+A[2],c[4]=c[2]+c[3]+A[4]，当我们更新A[2]的时候，我们只需要更新c[2],c[4],c[8],所以相当与每层我们只操作一个结点，即O(log(n))。

当我们更新的时候c[i]的时候，就从c[i]开始往右走，边走边往上爬。比如我们更新c[2]的时候，我们先更新c[2],然后更新c[4]、c[8]、c[16]。

当我们要求和的时候，我们从c[i]开始往左走，边走边往上爬。比如我们求前7项和，先找到c[7],然后加上c[6],最后加上c[4]。

那我们怎么才能做到这种奇怪的走法呢，

图中灰色结点表示c[i],白色结点表示以i结尾的和，很神奇，灰色结点c[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]表示以4结尾的和，我们很好理解，但是为什么灰色结点c[6]表示的表示的只有A[5]+A[6] 我们怎么来控制个数呢，对于c[4],我们相当于从下标4开始，往前数了4个数，对于c[6],我们从下标6开始往前数两个数，有个公式c[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]......+A[i]，其中k表示i的二进制末尾0的个数

i	2进制	k	下标取值范围
1	0001	0	i-2^k+1...i=1...1	c[1]=A[1]
2	0010	1	i-2^k+1...i=1...2	c[2]=A[1]+A[2]=c[1]+A[2]
3	0011	0	i-2^k+1...i=3...3	c[3]=A[3]
4	0100	2	i-2^k+1...i=1...4	c[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]=c[2]+c[3]+A[4]
5	0101	0	i-2^k+1...i=5...5	c[5]=A[5]
6	0110	1	i-2^k+1...i=5...6	c[6]=A[5]+A[6]=c[5]+A[6]

所以我们求和的时候我们就先找i，然后往前数2^k个数，既然k表示i的二进制末尾0的个数，其实就是前一位对应的权值，比如4的二进制为0100，末尾有2个0，所以2^k=4,从后往前数第一位不为0的出现在第三位，权值为100，即4。

那我们我们怎么计算这个权值呢，lowbit(i)=2^k=x&-x，先给出代码

int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}

还是以4为栗子：lowbit(4)=4,4二进制为0100，-4的二进制为4的二进制按位取反然后加1，-4=1100，所以4&(-4)=0100 即为4；

所以c[i]等于以i开始从后往前数i&(-i)个数。

当我们更新c[i]的时候，就从c[i]开始往右走，边走边往上爬。所以i逐渐变大但小于等于n，即更新时的下标变化：i+=lowbit(i)

当我们要求和的时候，我们从c[i]开始往左走，边走边往上爬。所以i逐渐变小但大于0，即求和时下标变化：i-=lowbit(i)

预处理方法：先把A和c数组都清空，然后执行n次add操作，所以时间复杂度为O(nlog(n))。

树状数组主要是用来维护动态数组连续和问题。

HDU 1166 敌兵布阵

题意：有n个营地，每个营地开始都有一定数量的敌军，然后有下面三种命令

(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数

题解：由于n=50000比较大，而且命令多达40000，所以可以用树状数组来解决，当然也可以用线段树来维护区间和，只不过线段树代码量比较大，所以对于这种单点更新求区间和问题最好使用树状数组，写起来节约时间，也不容易出错。下面分别给出树状数组和线段树的代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=50000+7;
int tree[maxn<<1];       //树状数组
int n;
char s[10];
int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}
void add(int x,int d)
{while(x<=n){tree[x]+=d;x+=lowbit(x);}return ;
}
int sum(int x)
{int s=0;while(x>0){s+=tree[x];x-=lowbit(x);}return s;
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);for(int t=1;t<=T;t++){memset(tree,0,sizeof(tree));scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int num;scanf("%d",&num);add(i,num);              //开始默认所有的点都是0 每读到一个数就开始往上更新}printf("Case %d:\n",t);int x,y;while(scanf("%s",s)==1&&strcmp(s,"End")){if(!strcmp(s,"Query")){scanf("%d %d",&x,&y);printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));}else if(!strcmp(s,"Add")) {scanf("%d %d",&x,&y);add(x,y);}else {scanf("%d %d",&x,&y);add(x,-y);}}}return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;const int maxn =1e5+7;long long int segtree[maxn<<2],a[maxn];
int n,x,y;
char s[10];void pushup(int now)                   //维护的信息 维护区间和
{segtree[now]=segtree[now<<1]+segtree[(now<<1)|1];return ;
}
void build_tree(int l,int r,int now)
{if(l==r){                   //递归到叶子结点赋值segtree[now]=a[l];return ;          //记得递归一定要renturn 不然就会疯狂递归}int mid=(l+r)>>1;build_tree(l,mid,now<<1);build_tree(mid+1,r,(now<<1)|1);pushup(now);
}long long int query(int ql,int qr,int l,int r,int now)
{if(ql<=l&&r<=qr){     //如果当前区间完全包含在查询区间 就return 当前递归子函数不再向下递归return segtree[now];}long long int ans=0;int mid=(l+r)>>1;if(ql<=mid)ans+=query(ql,qr,l,mid,now<<1);if(qr>mid)ans+=query(ql,qr,mid+1,r,(now<<1)|1);return ans;
}
void update(int pos ,int c,int l,int r,int now)
{if(l==r){segtree[now]+=c;return ;}int mid=(l+r)>>1;if(pos<=mid)update(pos,c,l,mid,now<<1);else update(pos,c,mid+1,r,(now<<1)|1);pushup(now);
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);for(int t=1;t<=T;t++){scanf("%d",&n);memset(segtree,0,sizeof(segtree));for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);build_tree(1,n,1);printf("Case %d:\n",t);while(scanf("%s",s)==1&&strcmp(s,"End")){if(!strcmp(s,"Query")){scanf("%d %d",&x,&y);printf("%lld\n",query(x,y,1,n,1));}else if(!strcmp(s,"Add")){scanf("%d %d",&x,&y);update(x,y,1,n,1);}else {scanf("%d %d",&x,&y);update(x,-y,1,n,1);}}}return 0;
}

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