回溯法求解装载问题（DFS + 剪枝策略）

参考：https://blog.csdn.net/m0_38015368/article/details/80196634

问题描述：

有n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且 $\sum wi \leq c1 + c2$

问是否有一个合理的装载方案,可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。

问题分析：

如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。
(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题:

$max\sum wi * xi$ 且 $\sum wi * xi \leq c1, xi \epsilon \left \{ 0, 1 \right \},1\leq i \leq n$

算法思路:

用子集树表示解空间,则解为n元向量{x1, ... ,xn }, xi∈{0, 1} 。

约束函数：

当前搜索的层i <= n时，当前扩展结点Z为子集树的内部结点，对于当前扩展结点，其右子树约束函数值与其父节点相同，则仅当满足cw+w[i] <= c时进入左子树，x[i]=1; 当cw+w[i] > c ，在以结点Z为根的子树中所有结点都不满足约束条件，因而该子树中解都是不可行解，因而将在该子树删去。

限界函数：

由于是最优化问题, 可利用最优解性质进一步剪去不含最优解的子树:
设Z是解空间树第i层上的当前扩展结点。
设 bestw: 当前最优载重量,
cw: 当前扩展结点Z的载重量 ;
r: 剩余集装箱的重量;
在以Z为根的子树中任意叶结点所相应的载重量不超过cw + r。因此，对于当前扩展结点，其左子树限界函数值与其父节点相同，则仅当cw + r ≤ bestw时，可将Z的右子树剪去。
即：cw + r > bestw 时搜索右子树，x[i]=0;

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;int n;                  //集装箱数
int bw = 0;                //best_weight:当前最优载重量(已搜索的解空间树中)
int cw = 0;                //current_weight:当前载重量(从根结点到当前结点部分解)
int x[100];             //当前向量
int bestx[100];         //最优解向量
int w[100];             //weight:集装箱重量
int c1;                 //第一艘船最大载重量
int c2;                 //第二艘船最大载重量
int r;                  //rest:剩余集装箱重量void bacctrack(int i)
{//搜索到叶子结点，更新最优解 if(i > n){for(int i = 0; i < n; i++)bestx[i] = x[i];bw = cw;}r -= w[i];/*剪枝 + 搜索右儿子的约束函数值与其父节点相同; 左儿子的限界函数值与其父节点相同;所以在搜索左儿子时，则只需判断约束函数能否将其剪枝 搜索右儿子时，则只需判断限界函数能否将其剪枝 */ //搜索左儿子 if(cw + w[i] <= c1) {x[i] = 1;cw += w[i];bacctrack(i + 1);cw -= w[i];       //回溯到父节点时，cw要更新为： cw - w[i]}//搜索右儿子 if(cw + r > bw){x[i] = 0;bacctrack(i + 1);                  //回溯到父节点时，r要更新为：r + w[i] r += w[i];                        }
} int main()
{cout << "请输入集装箱数量：" << endl; cin >> n;cout << "请输入两艘船最大载重量：" << endl;cin >> c1 >> c2; cout << "请输入集装箱重量：" << endl; for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> w[i];//将r初始化为所有集装箱的重量之和，那么当前扩展结点的r = r - w[i]，避免每次计算的前结点的cw + r for(int i = 1; i <= n; i++)r += w[i];bacctrack(1);//判断在第一艘船尽可能装满后，剩下的集装箱能否装入第二搜船 int rest_sum = 0;  for(int i = 1; i <= n; i++){if(bestx[i] == 0){rest_sum += w[i];}    }if(rest_sum > c2)cout << "无法装入" << endl;else{cout << "第一艘船装入的货物是：";for(int i = 1; i <= n; i++){if(bestx[i] == 1)cout << i << " ";}cout << endl;cout << "第二艘船装入的货物是：";for(int i = 1; i <= n; i++){if(bestx[i] == 0)cout << i << " ";}cout << endl;}return 0;
}

测试样例：

(1)

(2)

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