lim[(n!)^(1/n)]/n的极限

求如下极限 lim⁡n→+∞n!nn式 (1)\lim\limits _{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n} \text { 式 }(1)n→+∞limnnn! 式 (1)
对式①取对数得
lim⁡n→+∞ln⁡n!nnn=1nlim⁡n→+∞ln⁡n!nn=1nlim⁡n→+∞(ln⁡nn+ln⁡n−1n+⋯+ln⁡1n)=1nlim⁡n→+∞∑i=1nln⁡in式(2)\begin{aligned} &\lim _{n \rightarrow +\infty} \ln \sqrt[n]{\frac{n !}{n^{n}}}\\ &=\frac{1}{n} \lim _{n \rightarrow +\infty} \ln \frac{n !}{n^{n}}\\ &=\frac{1}{n} \lim _{n \rightarrow +\infty}\left(\ln \frac{n}{n}+\ln \frac{n-1}{n}+\cdots+\ln \frac{1}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n} \lim _{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^{n} \ln \frac{i}{n} \text { 式(2)} \end{aligned} n→+∞limlnnnnn!=n1n→+∞limlnnnn!=n1n→+∞lim(lnnn+lnnn−1+⋯+lnn1)=n1n→+∞limi=1∑nlnni 式(2)
由定积分定义得式②
=∫01ln⁡xdx=xln⁡x∣01−∫01xdln⁡x=[xln⁡x−x]01=−1\begin{aligned} &=\int_{0}^{1} \ln x d x\\ &=\left.x \ln x\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x d \ln x \\ &=[x \ln x-x]_{0}^{1}=-1 \end{aligned} =∫01lnxdx=xlnx∣01−∫01xdlnx=[xlnx−x]01=−1
即 lim⁡n→+∞ln⁡n!nnn=−1\lim\limits _{n \rightarrow +\infty} \ln \sqrt[n]{\frac{n !}{n^{n}}}=-1n→+∞limlnnnnn!=−1
⇒lim⁡n→+∞n!nn=1e\Rightarrow \lim\limits _{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n}=\frac{1}{e}⇒n→+∞limnnn!=e1

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