RNG and XOR

题目链接：luogu AGC034F

题目大意

给你一个长度为 2^n 的数组 A。
一开始有一个 0 0 0 数，然后每次你随机给它异或上 0~2^n-1 中的数，随机到 i i i 的概率跟 Ai+1 成正比。
然后对于 0~2^n-1 每个数问你第一次变成这个数的期望异或次数。

思路

考虑使用生成函数， f i f_i fi 为答案。

f 0 = 0 f_0=0 f0=0
f i = 1 + ∑ j = 0 2 n − 1 f i ⊕ j p j f_i=1+\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}f_{i\oplus j}p_j fi=1+j=0∑2n−1fi⊕jpj
F + f 0 ′ = I + F ∗ P F+f'_0=I+F*P F+f0′=I+F∗P

I = ∑ i = 0 2 n − 1 x i I=\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}x^i I=i=0∑2n−1xi

求 f 0 ′ f'_0 f0′：
F = ∑ i = 0 ∞ f i x i F=\sum\limits_{i=0}^{\infty}f_ix^i F=i=0∑∞fixi
S ( F ) = ∑ i = 0 ∞ f i S(F)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} f_i S(F)=i=0∑∞fi
S ( F ) + f 0 ′ = S ( I ) + S ( F ) ∗ S ( P ) S(F)+f'_0=S(I)+S(F)*S(P) S(F)+f0′=S(I)+S(F)∗S(P)
S ( P ) = 1 , S ( I ) = 2 n S(P)=1,S(I)=2^n S(P)=1,S(I)=2n
f 0 ′ = 2 n f_0'=2^n f0′=2n

F + 2 n = I + F ∗ P F+2^n=I+F*P F+2n=I+F∗P
F ( P − 1 ) = 2 n − I , F = 2 n − I P − 1 F(P-1)=2^n-I,F=\dfrac{2^n-I}{P-1} F(P−1)=2n−I,F=P−12n−I

但是有一个问题就是 [ x 0 ] ( P − 1 ) [x^0](P-1) [x0](P−1) 它 FWT 之后会是 0 0 0。
那就别管第 0 0 0 位，当他是 0 0 0 然后 IFWT。
那我们还有一个限制条件是 f 0 = 0 f_0=0 f0=0，那你 IFWT 之后 0 0 0 会赋值到的位置是所有，但你现在没有了，那你 f 0 f_0 f0 现在的值是 − x -x −x，那你给所有位置的值都加上 x x x，就相当于处理了 0 0 0 位置的贡献了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 998244353using namespace std;const int N = 1 << 18;
int n;
ll p[N], a[N], sum, I[N], f[N], inv2;ll ksm(ll x, ll y) {ll re = 1;while (y) {if (y & 1) re = re * x % mo;x = x * x % mo; y >>= 1;}return re;
}void FWT(ll *f, int n, int op) {for (int mid = 1; mid < n; mid <<= 1)for (int R = (mid << 1), j = 0; j < n; j += R)for (int k = 0; k < mid; k++) {ll x = f[j | k], y = f[j | mid | k];if (op == 1) {f[j | k] = (x + y) % mo;f[j | mid | k] = (x - y + mo) % mo;}else {f[j | k] = (x + y) * inv2 % mo;f[j | mid | k] = (x - y + mo) * inv2 % mo;}}
}int main() {inv2 = (mo + 1) / 2;scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < (1 << n); i++) scanf("%lld", &a[i]), (sum += a[i]) %= mo;sum = ksm(sum, mo - 2); for (int i = 0; i < (1 << n); i++) p[i] = a[i] * sum % mo;p[0] = (p[0] - 1 + mo) % mo;I[0] = (1 << n); for (int i = 0; i < (1 << n); i++) I[i] = (I[i] - 1 + mo) % mo;FWT(p, 1 << n, 1); FWT(I, 1 << n, 1);for (int i = 1; i < (1 << n); i++) f[i] = I[i] * ksm(p[i], mo - 2) % mo;FWT(f, 1 << n, -1);ll fix = f[0];for (int i = 0; i < (1 << n); i++) f[i] = (f[i] - fix + mo) % mo;for (int i = 0; i < (1 << n); i++) printf("%lld\n", f[i]);return 0;
}

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